Kezdőlap


Feladat:	1269. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	B. Major P. , Barna T. , Berger Tibor , Bluszt Ernő , Donáth Géza , Farkas L. , Frankl Ottó , Harsányi János , Holzer Pál , Huhn P. , Kemény György , Kukorelly Gy. , Lóránd Endre , Mandl D. , Marosán Zoltán , Mészáros I. , Oroszhegyi Szabó Lajos , Pálos P. , Schwarz J. , Sebestyén Gyula , Somogyi Á. , Szacsvay József , Szerényi László , Vajda József
Füzet:	1937/január, 153 - 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Súlyvonal, Indirekt bizonyítási mód, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/november: 1269. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Ismeretes összefüggés: $k_{c}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4}$ .
Tegyük fel, hogy $k_{c} > c$ , akkor

\begin{matrix} \frac{a^{2} + b^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4} > c^{2} vagyis \frac{a^{2} + b^{2}}{2} > \frac{5 c^{2}}{4} . \end{matrix}

\begin{matrix} Ha & k_{a} > a, & akkor & hasonlóan & \frac{b^{2} + c^{2}}{2} > \frac{5 a^{2}}{4}, \\ ha & k_{b} > b, & ,, & ,, & \frac{c^{2} + a^{2}}{2} > \frac{5 b^{2}}{4}. \end{matrix}

Eszerint, ha mindegyik súlyvonal nagyobb lenne a hozzátartozó oldalnál, akkor ‐ a három egyenlőtlenség megtelelő tagjainak összeadásával

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} > \frac{5}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \end{matrix}

lenne, azaz ellenmondásra jutunk. Kell tehát, hogy legalább egy súlyvonal kisebb legyen a hozzátartozó oldalnál.
NB. Hogy mindig van oly középvonal mely nagyobb a hozzátartozó oldalnál, nem áll meg, mert pl. az egyenlőoldalú háromszögben mindegyik kisebb az oldalnál.

Oroszhegyi Szabó Lajos (Kegyesrendi g. VIII. o. Bp ).

II. Megoldás. A 702. gyakorlatban (VIII. évf. 216. o.) kimutattuk, hogy

\begin{matrix} k_{a} + k_{b} + k_{c} < a + b + c . \end{matrix}

\begin{matrix} k_{a} \geq a, k_{b} \geq b, k_{c} \geq c, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} k_{a} + k_{b} + k_{c} \geq a + b + c, \end{matrix}

tehát idézett tételünkkel ellenmondásba jutnánk.
Kell tehát, hogy a három súlyvonal valamelyike kisebb legyen a hozzátartozó oldalnál.

Donáth Géza (Szent László rg. VII. o. Bp. X.)

Jegyzet. Mindkét megoldás számos változatban szerepel. Jelentékeny részük kimutatja, hogy a legnagyobb oldal mindig nagyobb, mint a hozzátartozó súlyvonal.