Feladat:	1268. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Bacsa B. ,  Bartók László ,  Bencze József ,  Berger Tibor ,  Bernáth Miklós ,  Bluszt Ernő ,  Bodó Z. ,  Bölcskei János ,  Czinczenheim József ,  Erdős G. ,  Esztó Zoltán ,  Farkas Imre ,  Fehér György ,  Fesser J. ,  Frankl Ottó ,  Gárdos Pál ,  Gerecs I. ,  Gerő B. ,  Hajnal Miklós ,  Holzer Pál ,  Huhn Péter ,  ifj. Jankovich I. ,  Kádár Gy. ,  Kardos I. ,  Kemény György ,  Klein Käthe ,  Kolostori J. ,  Komlós János ,  Kondor J. ,  Lóránd Endre ,  Major P. ,  Mandl Béla ,  Marosán Zoltán ,  Mészáros J. ,  Morvay Sándor ,  Németh K. ,  Oroszhegyi Szabó Lajos. ,  Pálos Peregrin ,  Papp I. ,  Radovics György ,  Réczey G. ,  Sájerman J. ,  Schläffer Ödön ,  Schwarz János ,  Sebestyén Gyula ,  Siklós I. ,  Somogyi Antal ,  Szacsvay József ,  Szelei Gy. ,  Szerényi László ,  Szűcsi István ,  Tarnóczy L. ,  Than Károly ,  Tóth I. ,  Vajda József
Füzet:	1937/január, 152 - 153. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Sorozat határértéke, Hossz, kerület, Mértani sorozat, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/november: 1268. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Az $AOB$, $ABC$, $CDE$ $\text{...}$hegyes szögek mind egyenlők egymással, mivel a sorrendben egymást követők megfelelő szárai egymásra merőlegesek; tehát mindegyik $=\alpha$, úgy hogy ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle OA}& {\displaystyle =a\mathrm{,}AB=OA\text{sin}AOB=a\text{sin}\alpha ;}\hfill \\ \hfill {\displaystyle BC}& {\displaystyle =AB\text{cos}ABC=a\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle CD}& {\displaystyle =BC\text{sin}ABC=a\text{sin}{}^2\alpha \text{cos}\alpha \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle DE}& {\displaystyle =CD\text{cos}CDE=a\text{sin}{}^2\alpha \text{cos}{}^2\alpha \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">s. í. t.</span>}}\hfill \end{array}}$ A szóbanforgó törtvonal tehát kétféle mértani sor összege; az egyik összeg ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle S_1=a+a\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha +a\text{sin}{}^2\text{cos}{}^2\alpha +\text{...}+a\text{sin}{}^n\alpha \text{cos}{}^n\alpha +\text{...}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =a\left[1+\frac{\text{sin}2\alpha }{2}+{\left(\frac{\text{sin}2\alpha }{2}\right)}^2+\text{...}+{\left(\frac{\text{sin}2\alpha }{2}\right)}^n\right]=a\frac{1-{\left(\frac{\text{sin}2\alpha }{2}\right)}^{n+1}}{1-\frac{\text{sin}2\alpha }{2}}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ha $n\to \infty$, akkor, mivel $0<\frac{\text{sin}2\alpha }{2}<1$, $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}{S}_1=\frac{2a}{2-\text{sin}2\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ A másik összeg ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle S_2=a\text{sin}\alpha +a\text{sin}{}^2\alpha \text{cos}\alpha +a\text{sin}{}^3\alpha \text{cos}{}^2\alpha +\text{...}+a\text{sin}{}^{n+1}\alpha \text{cos}{}^n\alpha =}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =a\text{sin}\alpha \left[1+\frac{\text{sin}2\alpha }{2}+{\left(\frac{\text{sin}2\alpha }{2}\right)}^2+\text{...}+{\left(\frac{\text{sin}2\alpha }{2}\right)}^n\right]=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =a\text{sin}\alpha \frac{1-{\left(\frac{\text{sin}2\alpha }{2}\right)}^{n+1}}{1-\frac{\text{sin}2\alpha }{2}}\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ és $\underset{n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}{S}_1=\frac{2a\text{sin}\alpha }{1-\text{sin}2\alpha }\mathrm{.}$   Az $OABCDE$ $\text{...}$ törtvonal hossza, ha a részek száma vég nélkül növekedik $\begin{array}{c}{\displaystyle S=\underset{n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}{S}_1+\underset{n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}{S}_2=\frac{2a\left(1+\text{sin}\alpha \right)}{2-\text{sin}2\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ Esztó Zoltán (Bencés g. VII. o. Sopron).