|
Feladat: |
1266. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Almássy György , Barna Tibor , Bencze József , Berger Tibor , Bluszt Ernő , Bodó Z. , Buday László , Bölcskei János , Datner Pál , Farkas Imre , Fessler J. , Frankl Ottó , Gállik J. , Gerecs I. , Gerő B. , Gombos S. , Harsányi János , Holzer Pál , Illovszky G. , Jánoshegyi F. , Kádár Géza , Kemény György , Kolostori F. , Kondor I. , Krisztonosich Jenő , Kukorelly Gy. , Lóránd Endre , Mandl D. , Marosán Zoltán , Mészáros I. , Mihalik I. , Nagy Elemér , Németh I. , Németh K. , Novák L. , Pálos Peregrin , Pappert T. , Pethő T. , Sájerman J. , Schläffer Ödön , Schwarz János , Somogyi Antal , Szabó L. , Szelei T. , Szerényi László , Taussig F. , Tóth M. , Vajda József , Zádor Gy. , Zubek P. |
Füzet: |
1937/január,
149 - 151. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Egyenesek egyenlete, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1936/november: 1266. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Megoldás. Ha két kör az
egyenletek által van megadva, akkor annak, hogy a két kör merőlegesen messe egymást, szükséges és elégséges feltétele: Az adott (1) körre nézve: , , . A keresett (2) körre nézve , , ismeretlenek. Ezek kiszámítására három egyenletre van szükség. Az elsőt szolgáltassa a (3) feltétel; ebbe helyettesítve , , értékét, keletkezik A (2) kör keresztül megy ill. ponton, ha ennek koordinátái kielégítik a (2) egyenletet. Kell tehát, hogy
egyenletek álljanak fenn, amelyekből (4) és (6) alapján | |
A keresett kör egyenlete eszerint | |
A keresett kör középpontja és sugara .
II. Megoldás. Az adott kör egyenletét
alakban írva, kiolvashatjuk belőle, hogy középpontjának koordinátái és sugara A keresett kör egyenlete:
Meghatározandók és . Minthogy (2) keresztülmegy a és pontokon, ezek koordinátái kielégítik az egyenletet, azaz
(3)-ból és (4)-ből következik: , azaz a keresett kör középpontjának koordinátái egyenlők. Továbbá: (5) Ha (1) és (2) körök merőlegesen metszik egymást, akkor a metszésponthoz húzott sugarak és a két kör centrálisa derékszögű háromszöget alkotnak, melynek átfogója . Tehát , ahol . Eszerint: és így , , . A keresett kör egyenlete: .
Buday László (Premontrei rg. VIII. o. Szombathely).
III. Megoldás. Az adott pontokat felfogatjuk, mint zérus sugarú köröket és ekkor feladatunkat úgy fogalmazhatjuk, hogy oly kört keresünk, mely három adott kört merőlegesen szel. Az ilyen kör középpontja, a három kör hatványpontja, azaz két kör hatványvonalának közös pontja. A pontnak, mint körnek egyenlete: | | Ezen körnek és az körnek hatványvonala a egyenlet által van megadva. Az pontnak, mint körnek egyenlete: | | Ennek és az körnek hatványvonalát egyenlet adja meg. Már most az (a) és (b) egyenletrendszer megoldása: , , a három kör hatványpontját azaz a keresett kör középpontját határozza meg. A keresett kör sugara az pont távolsága az ponttól, tehát | |
Bölcskei János (Kemény Zsigmond r. VIII. o. Bp. VI.). A keresett kör középpontja az egyenesen fekszik.Két kör hatványvonala mértani helye azon körök középpontjainak, amelyek a két adott kört merőlegesen metszik.Két kör hatványvonalának egyenletét megkapjuk, ha a két kör egyenletének megfelelő tagjait kivonjuk egymásból, midőn a négyzetes tagok együtthatója . |
|