Kezdőlap


Feladat:	1266. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Almássy György , Barna Tibor , Bencze József , Berger Tibor , Bluszt Ernő , Bodó Z. , Buday László , Bölcskei János , Datner Pál , Farkas Imre , Fessler J. , Frankl Ottó , Gállik J. , Gerecs I. , Gerő B. , Gombos S. , Harsányi János , Holzer Pál , Illovszky G. , Jánoshegyi F. , Kádár Géza , Kemény György , Kolostori F. , Kondor I. , Krisztonosich Jenő , Kukorelly Gy. , Lóránd Endre , Mandl D. , Marosán Zoltán , Mészáros I. , Mihalik I. , Nagy Elemér , Németh I. , Németh K. , Novák L. , Pálos Peregrin , Pappert T. , Pethő T. , Sájerman J. , Schläffer Ödön , Schwarz János , Somogyi Antal , Szabó L. , Szelei T. , Szerényi László , Taussig F. , Tóth M. , Vajda József , Zádor Gy. , Zubek P.
Füzet:	1937/január, 149 - 151. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Egyenesek egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/november: 1266. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Ha két kör az

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + A_{1} x + B_{1} y + C_{1} & = 0 ... & (1) \\ ill. x^{2} + y^{2} + A_{2} x + B_{2} y + C_{2} & = 0 ... & (2) \end{matrix}

egyenletek által van megadva, akkor annak, hogy a két kör merőlegesen messe egymást, szükséges és elégséges feltétele:

\begin{matrix} A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 2 (C_{1} + C_{2}) ... \end{matrix}

(3)

Az adott (1) körre nézve:

A_{1} = 2

B_{1} = 0

C_{1} = 0

. A keresett (2) körre nézve

A_{2}

B_{2}

C_{2}

ismeretlenek. Ezek kiszámítására három egyenletre van szükség. Az elsőt szolgáltassa a (3) feltétel; ebbe helyettesítve

A_{1}

B_{1}

C_{1}

értékét, keletkezik

\begin{matrix} 2 A_{2} - 2 C_{2}, azaz A_{2} - C_{2} ... \end{matrix}

(4)

A (2) kör keresztül megy

(0, 1)

ill.

(1, 0)

ponton, ha ennek koordinátái kielégítik a (2) egyenletet. Kell tehát, hogy

\begin{matrix} 1 + B_{2} + C_{2} & = 0 ... & (5) \\ és 1 + A_{2} + C_{2} & = 0 ... & (6) \end{matrix}

egyenletek álljanak fenn, amelyekből (4) és (6) alapján

\begin{matrix} 1 + 2 A_{2} = 0, tehát A_{2} = C_{2} = - \frac{1}{2} és (5)-ből B_{2} = - \frac{1}{2} . \end{matrix}

A keresett kör egyenlete eszerint

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - \frac{x + y + 1}{2} = 0 vagy {(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{5}{8} . \end{matrix}

A keresett kör középpontja

(\frac{1}{4}, \frac{1}{4})

és sugara

\sqrt[]{\frac{5}{8}}

II. Megoldás. Az adott kör egyenletét

\begin{matrix} {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1 ... \end{matrix}

(1)

alakban írva, kiolvashatjuk belőle, hogy középpontjának koordinátái

(- 1, 0)

és sugara

r = 1.

A keresett kör egyenlete:

\begin{matrix} {(x - α)}^{2} + {(y - β)}^{2} = ϱ^{2} ... \end{matrix}

(2)

Meghatározandók

(α, β)

és

ϱ

.
Minthogy (2) keresztülmegy a

(0, 1)

és

(1, 0)

pontokon, ezek koordinátái kielégítik az egyenletet, azaz

\begin{matrix} α^{2} + {(1 - β)}^{2} & = ϱ^{2} ... & (3) \\ {(1 - α)}^{2} + β^{2} & = ϱ^{2} ... & (4) \end{matrix}

(3)-ból és (4)-ből következik:

α = β

, azaz a keresett kör középpontjának koordinátái egyenlők.¹ Továbbá:

ϱ^{2} = 2 α^{2} - 2 α + 1 ...

(5)
Ha (1) és (2) körök merőlegesen metszik egymást, akkor a metszésponthoz húzott sugarak és a két kör centrálisa

(O_{1} O_{2} = c)

derékszögű háromszöget alkotnak, melynek átfogója

O_{1} O_{2} = c

.
Tehát

r^{2} + ϱ^{2} = c^{2}

, ahol

c^{2} = \bar{O_{1} O_{2}^{2}} = {(α + 1)}^{2} + α^{2} = 2 α^{2} + 2 α + 1

.
Eszerint:

1 + 2 α^{2} - 2 α + 1 = 2 α^{2} + 2 α + 1

és így

α = \frac{1}{4}

β = \frac{1}{4}

ϱ^{2} = \frac{5}{8}

.
A keresett kör egyenlete:

{(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{5}{8}

Buday László (Premontrei rg. VIII. o. Szombathely).

III. Megoldás. Az adott pontokat felfogatjuk, mint zérus sugarú köröket és ekkor feladatunkat úgy fogalmazhatjuk, hogy oly kört keresünk, mely három adott kört merőlegesen szel. Az ilyen kör középpontja, a három kör hatványpontja, azaz két kör hatványvonalának közös pontja.²
A

(0, 1)

pontnak, mint körnek egyenlete:

\begin{matrix} x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 0 azaz x^{2} + y^{2} - 2 y + 1 = 0. \end{matrix}

Ezen körnek és az

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + 2 x = 0 \end{matrix}

körnek hatványvonala a

\begin{matrix} 2 x + 2 y - 1 = 0 ... \end{matrix}

(a)

egyenlet által van megadva.³
Az

(1, 0)

pontnak, mint körnek egyenlete:

\begin{matrix} {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 0 vagyis x^{2} + y^{2} - 2 x + 1 = 0. \end{matrix}

Ennek és az

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + 2 x = 0 \end{matrix}

körnek hatványvonalát

\begin{matrix} 4 x = 1 ... \end{matrix}

(b)

egyenlet adja meg. Már most az (a) és (b) egyenletrendszer megoldása:

x = \frac{1}{4}

y = \frac{1}{4}

, a három kör hatványpontját azaz a keresett kör középpontját határozza meg. A keresett kör

ϱ

sugara az

(1, 0)

pont távolsága az

(\frac{1}{4}, \frac{1}{4})

ponttól, tehát

\begin{matrix} ϱ^{2} = {(1 - \frac{1}{4})}^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} = \frac{9}{16} + \frac{1}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} . \end{matrix}

Bölcskei János (Kemény Zsigmond r. VIII. o. Bp. VI.).

¹A keresett kör középpontja az

y = x

egyenesen fekszik.

²Két kör hatványvonala mértani helye azon körök középpontjainak, amelyek a két adott kört merőlegesen metszik.

³Két kör hatványvonalának egyenletét megkapjuk, ha a két kör egyenletének megfelelő tagjait kivonjuk egymásból, midőn a négyzetes tagok együtthatója $1$ .