Kezdőlap


Feladat:	1227. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	B. Major P. , Barna Tibor , Czinczenheim J. , Halász I. , Harsányi J. , Huhn P. , Mandl P. , Nagy Elemér , Schwarz J.
Füzet:	1936/október, 43 - 44. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Osztók száma, Prímtényezős felbontás, Osztók száma függvény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/május: 1227. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $n = 2^{r} \cdot m$ , ahol $m$ páratlan szám¹. Ismeretes, hogy

\begin{matrix} d (n) = d (2^{r}) d (m) = (r + 1) d (m) . \end{matrix}

és

\begin{matrix} d (2 m) = d (2) d (m) = 2 d (m) . \end{matrix}

Oly osztópárja

n

-nek, melynek elsője

2^{k}

-val, a másodikja

2^{r - k}

-val osztható, annyi van, ahány osztója van

m

-nek, azaz

d (m)

. Minthogy

k

lehet

1,2, ... (r - 1)

és minden ilyen esetben a konjugált páros osztók párjainak száma

d (m)

, az összes ilyen osztópárok száma

\begin{matrix} (r - 1) d (m) = (r + 1) d (m) - 2 d (m) = d (n) - d (2 m) = d (n) - d (\frac{n}{2^{r - 1}}) \end{matrix}

Barna Tibor (ág. ev. g. VII. o. Bp.)

m = p_{1}^{α_{1}} p_{2}^{α_{2}} ... p_{i}^{α_{i}}

, ahol

p_{1}, p_{2} ... p_{i}

különböző páratlan törzsszámok.

\begin{matrix} d (m) & = (α_{1} + 1) (α_{2} + 1) ... (α_{i} + 1) \\ d (n) & = (r + 1) (α_{1} + 1) (α_{2} + 1) ... (α_{i} + 1) . \end{matrix}