Kezdőlap


Feladat:	1218. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Farkas I. , Földesi T. , Gergely J. , Goldschmid V. , Halász I. , Harsányi J. , Holzer P. , Komlós J. , Kukorelly Gy. , Lóránd E. , Mandl B. , Nagy Elemér , Papp I. , Radovics Gy. , Sájerman J. , Schwarz J. , Sebestyén Gy. , Somogyi A. , Somogyi Éva , Szél György , Szelei Gy. , Vajda J.
Füzet:	1936/szeptember, 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, Szorzat, hatvány számjegyei, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/április: 1218. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltevésünk szerint

\begin{matrix} 100 (10 x + y) + (10 z + u) = N^{2}, \end{matrix}

ahol

N

kétjegyű szám. A rövidség kedvéért pedig legyen:

10 z + u = a

. Már most két eset lehetséges.
I.

\begin{matrix} 10 x + y = a + 1. Ekkor: 100 (a + 1) + a = N^{2}, \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} 101 a = N^{2} - 100 = (N + 10) (N - 10) . \end{matrix}

Minthogy 101 törzsszám, kell, hogy vagy

N + 10

vagy

N - 10

osztható legyen 101-gyel. Azonban

N

kétjegyű szám és így csak

N + 10

lehet 101 többszöröse, még pedig csakis úgy, hogy

\begin{matrix} N + 10 = 101 és így N = 91. \end{matrix}

A keresett négyjegyű szám:

91^{2} = 8281

, ahol valóban

82 = 81 + 1

.
II.

\begin{matrix} 10 x + y = a - 1. Ekkor 100 (a - 1) + a = N^{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 101 a = N^{2} + 100 = (N^{2} - 1) + 101. \end{matrix}

Eszerint kell, hogy

N^{2} - 1 = (N + 1) (N - 1)

legyen 101 többszöröse, tehát, mivel 101 törzsszám, vagy

N + 1

vagy

N - 1

legyen 101 többszöröse. Azonban

N

kétjegyű szám és így sem

N + 1

, sem

N - 1

nem lehet 101 (ill. ennek többszöröse).
Feladatunkat csak az I. alatt talált szám elégíti ki!

Szél György (Kölcsey Ferenc rg. VII. o. Bp. VII.)