Feladat: 1212. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Abonyi Péter ,  Barna T. ,  Brill Gy ,  Bukszbaum Gy. ,  Czinczenheim J. ,  Faragó P. ,  Farkas I. ,  Földesi T. ,  Gergely J. ,  Glück P. ,  Grózinger S. ,  Gyulai L. ,  Huhn P. ,  ifj. Csizmás L. ,  Ilkovits I. ,  Kádár Gy. ,  Kapcsándi I. ,  Kardos Gy. ,  Keller Vera ,  Kepes Á. ,  Kerényi R. ,  Kolostori J. ,  Komlós J. ,  Kukorelly Gy. ,  Lóránd E. ,  Major P. ,  Mandl B. ,  Mérei Gy. ,  Molnár F. ,  Nagy Elemér ,  Nagy Ernő ,  Nemes F. ,  Oroszhegyi Szabó Lajos. ,  Pálos P. ,  Pázmándi L. ,  Pick Gy. ,  Sájerman J. ,  Schreiber B. ,  Schwarz J. ,  Schwarz O. ,  Somogyi Éva ,  Szak Á. ,  Szél György ,  Szele T. ,  Szelei Gy. ,  Zalay E. 
Füzet: 1936/május, 259 - 260. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Merőleges affinitás, Ellipszis egyenlete, Síkbeli ponthalmazok távolsága, Síkgeometriai szerkesztések, Ellipszis, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1936/március: 1212. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. 1. Az ellipszisnek a főtengelyekre vonatkoztatott egyenlete:

x2a2+y2b2=1.

Tekintsük azon F gyújtópontot, mely az X-tengely pozitív oldalán van. Olyan pont, mely az ellipszis O középpontjától és az F gyújtóponttól egyenlő távolságban van, kettő fekszik az ellipszisen, az X-tengelyre nézve szimmetrikusan. Elegendő tehát, ha csak azt vesszük figyelembe, amelyre nézve y>0. A szóban forgó pontot az x=OF2 abscissa határozza meg, ahol OF=c=a2-b2. Ezen abscissához tartozó pont ordinátája
y=baa2-x2=baa2-a2-b24=b2a3a2+b2.

 

2. A P pont szerkesztése az affinitás alapján végezhető. Az ellipszis főkörét az x=c2 egyenes a Q (ill. ezzel szimmetrikus Q') pontban metszi. Az OQ egyenes az O körül b sugárral szerkesztett kört M pontban metszi. Az M pontból az X-tengellyel párhuzamosan vont egyenes az x=c2 egyenesen a keresett P pontot határozza meg.
 

Abonyi Péter (Izraelita reálgimn. VII. o. Debrecen.)
 

II. Megoldás. Azon körök középpontjainak mértani helye, amelyek egy adott kört érintenek és egy, a körön belül fekvő ponton mennek keresztül, ellipszis. Ennek gyújtópontjai az adott kör középpontja, F1, és az adott pont F2; nagytengelye az adott kör sugara.
Ebből következik, hogy az ellipszis bármely P pontja egyenlő távolságban van az F2 gyújtóponttól és az F1 középpontból 2a sugárral rajzolt k1 ellenkörtől, azaz P oly kör középpontja, mely keresztülmegy F2-n és a k1 kört érinti. Már most az ellipszis P pontját úgy kell megkeresnünk, hogy oly kör középpontja legyen, mely az előbbi feltételek mellett még az ellipszis O középpontján menjen keresztül.
 
 

Vegyünk fel tehát egy tetszőleges k2 kört, mely keresztülmegy az F2 és O pontokon és a k1 kört az A, B pontokban metszi. A keresett kör legyen k. A k1 és k2 hatványvonala az AB egyenes, k2 és k hatványvonala az OF2 egyenes. Az AB és OF2 metszéspontja legyen ω: ezen kell áthaladnia a k és k1 hatványvonalának is. Minthogy ezen két kör érinti egymást, hatványvonaluk a közös érintőjük: tehát az ω-ból k1-hez húzott érintő PC ill. PC'. Ha tehát C-t és C'-t összekötjük k1 középpontjával, F1-vel, megkapjuk az OF2-t merőlegesen felező e egyenesen az ellipszis keresett pontjait, P-t és P'-t.
 

Szél György (Kölcsey Ferenc rg. VII. o. Bp. VI.)