Kezdőlap


Feladat:	1210. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barabás József , Barna T. , Brill Gy. , Bukszbaum Gy. , Fábián J. , Földesi T. , Gergely J. , ifj. Jankovich I. , Ilkovits I. , Jakoby Gy. , Kádár Gy. , Kálmán L. , Kardos Gy. , Kerényi R. , Kolostori J. , Komlós J. , Kukorelly Gy. , Lóránd E. , Mandl B. , Molnár F. , Müller S. , Nagy Elemér , Nagy Ernő , Pálos P. , Pázmándi L. , Schwarz O. , Seidl G. , Szak Á. , Szél Gy. , Szele T. , Vajda J.
Füzet:	1936/május, 257 - 258. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Függvényvizsgálat, Függvény határértéke, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/március: 1210. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$y$ az $x$ -nek oly racionális törtfüggvénye, melynek nevezője

\begin{matrix} x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3), \end{matrix}

tehát az

x = 1

és

x = 3

helyeken zérussá válik. Ezen helyeken a függvény folytonossága megszűnik; minden más

x

helyen a függvény folytonos. Az

x = 1

és

x = 3

egyenesek a függvénygörbe aszimptotái. A függvény értéke 0, ha

4 x^{2} + 4 x - 3 - 0

, azaz ha

x = - \frac{3}{2}

és ha

x = \frac{1}{2}

.
Az

x = \pm \infty

helyeken

y = {lim}_{}^{}_{x \to \pm \infty}^{} \frac{4 + \frac{4}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}} = 4

.
Eszerint az

y = 4

egyenes is aszimptotája a függvénygörbének.
Vizsgáljuk most a függvény változását differenciálhányadosa segítségével:

\begin{matrix} y' = \frac{(8 x + 4) (x^{2} - 4 x + 3) - (4 x^{2} + 4 x - 3) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 3)}^{2}} = \frac{- 10 x (2 x - 3)}{{(x^{2} - 4 x + 3)}^{2}} . \end{matrix}

Minthogy

y'

nevezője sohasem negatív, előjele a számláló előjelével egyezik meg.

y' = 0

x = 0

és

x = \frac{3}{2}

helyeken.

y'

negatív, míg

x

változik

- \infty

-től 0-ig, pozitív az

0 \leq x \leq 1

intervallumban. Eszerint a függvénynek az

x = 0

helyen minimuma van és

y_{min} = - 1

. Az

x = 1

helyen

y = + \infty

, ha

ε

pozitív kicsiny szám és

\begin{matrix} x = {lim}_{ε \to 0}^{} 1 - ε, de y = - \infty, ha x = {lim}_{ε \to 0}^{} 1 + ε . \end{matrix}

Már most, ha

\begin{matrix} 1 < x < \frac{3}{2}, \end{matrix}

akkor

y' > 0

, míg ha

\frac{3}{2} < x \leq 3, y' < 0

; tehát az

x = \frac{3}{2}

helyen, ahol

y' = 0

, a függvénynek maximuma van és

y_{max} = - 16

.
Ha

x = {lim}_{}^{}_{ε \to 0}^{} 3 - ε, y = - \infty

, míg

y = + \infty

, ha

x = {lim}_{}^{}_{ε \to 0}^{} 3 + ε

. Az

x > 3

intervallumban

y' < 0

, tehát a függvény értéke

+ \infty

-től fogy 4-ig.
A függvény változását jellemző fontosabb értékek táblázata:

\begin{matrix} \begin{matrix} x & - \infty & - \frac{3}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{3}{2} & 3 & + \infty \\ y & 4 & ↘ & 0 & ↘ & \binom{- 1}{{min}_{}^{}} & ↗ & 0 & \frac{+ \infty}{- \infty} & ↗ & \binom{- 16}{{max}_{}^{}} & ↘ & \frac{- \infty}{+ \infty} & ↘ & 4 \end{matrix} \end{matrix}

Barabás József (Ref. g. VII. o. Debrecen.)