Kezdőlap


Feladat:	1196. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barabás J. , Bodó Zalán , Farkas I. , Gergely J. , Goldschmid V. , Holzer P. , Huhn P. , ifj. Csizmás L. , Kardos Gy. , Keller Vera , Kepes Á. , Kolostori J. , Komlós J. , Kukorelly Gy. , Könyves Piroska , Mandl B. , Mezei Gy. , Müller S. , Nagy Elemér , Nagy Ernő , Nagy J. , Pálos P. , Pázmándi L. , Sájerman J. , Schwarcz J. , Schwarz O. , Szelei Gy. , Szélpál I. , Vajda J. , Villani F.
Füzet:	1936/április, 234 - 235. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Partíciós problémák, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/február: 1196. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilván $x_{1}$ legkisebb értéke $1$ , $x_{2}$ és $2$ ; amidőn ezek legkisebb értéküket veszik fel, akkor áll elő $x_{3}$ legnagyobb értéke, tehát

\begin{matrix} x_{3, {max}_{}^{}} = n - (1 + 2) = n - 3. \end{matrix}

¹ Minthogy

x_{2} ≧ x_{1} + 1, x_{3} ≧ x_{2} + 1 vagyis x_{3} \geq x_{1} + 2

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + x_{3} ≧ 3 x_{1} + 3 azaz n ≧ 3 x_{1} + 3 \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x_{1} ≦ \frac{n - 3}{3} tehát x_{1 max} = [\frac{n - 3}{3}] = [\frac{n}{3}] - 1. \end{matrix}

Másrészt

\begin{matrix} x_{2} ≦ x_{3} - 1, x_{1} ≦ x_{3} - 2, \end{matrix}

így

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + x_{3} \leq 3 x_{3} - 3 vagyis n ≦ 3 x_{3} - 3. \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} x_{3} ≧ \frac{n + 3}{3} = \frac{n}{3} + 1, tehát x_{3, {min}_{}^{}} = [\frac{n}{3}] + 1. \end{matrix}

Végül meg kell állapítanunk

x_{2}

legnagyobb értékét. Midőn

x_{1} = 1

, akkor

x_{2} + x_{3}

összeg értéke legnagyobb, t.i.

x_{2} + x_{3} = n - 1

.
Ezen egyenlet azon megoldásai között, amelyekben

0 < x_{2} < x_{3}

, az

x_{2}

legnagyobb értéke:

\begin{matrix} [\frac{n - 1 - 1}{2}] = [\frac{n - 2}{2}] = [\frac{n}{2}] - 1. \end{matrix}

¹ Összefoglalva:

x_{1, {min}_{}^{}} = 1, x_{1, {max}_{}^{}} = [\frac{n}{3}] - 1

\begin{matrix} x_{2, {min}_{}^{}} = 2, x_{2, {max}_{}^{}} = [\frac{n - 2}{2}] = [\frac{n}{2}] - 1, \\ x_{3, {min}_{}^{}} = [\frac{n}{3}] + 1, x_{3, {max}_{}^{}} = n - 3. \end{matrix}

Bodó Zalán (Szent István rg. VI. o. Bp.)

¹Minthogy

n - 3 > 2

tartozik lenni,

n > 5

, ill.

n ≧ 6

¹L. az 1049. gyakorlatot a 7. számban