Kezdőlap


Feladat:	1183. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barna P. , Bencze J. , Bodó Z. , Cseh S. , Donáth G. , Farkas I. , Fried L. , Goldschmid V. , Halász I. , Harsányi J. , Holzer P. , Huhn P. , ifj. Seidl G. , Ilkovits I. , Kassai József , Kepes Á. , Kerényi R. , Komlós J. , Kottász J. , Kukorelly Gy. , Lóránd E. , Mandl B. , Marton T. , Mezei Gy. , Müller S. , Nagy Elemér , Németh K. , oroszhegyi Szabó L. , Pálos P. , Papp J. , Pázmándi L. , Radovics Gy. , Sájerman J. , Schwarz J. , Schwarz O. , Sebestyén Gy. , Splény G. , Szak Á. , Szél Gy. (Kölcsey) , Szele T. , Szelei Gy. , Szmák S. , Takács P. , Tamás I. , Zalay E.
Füzet:	1936/március, 200 - 201. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Szorzat, hatvány számjegyei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/január: 1183. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 10-es számrendszerben felírt $N$ szám a 8-as számrendszerben felírt $n$ szám négyzete, úgy hogy

\begin{matrix} N = a_{0} \cdot 10^{4} + a_{1} \cdot 10^{3} + a_{2} \cdot 10^{2} + a_{3} \cdot 10 + a_{4} \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} n = b_{0} \cdot 8^{2} + b_{1} \cdot 8 + b_{2} . \end{matrix}

(2)

Feltevésünk szerint

\begin{matrix} a_{0} + a_{2} + a_{4} = 9 és a_{1} + a_{3} = 9, \end{matrix}

(3)

tehát

\begin{matrix} a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 18, \end{matrix}

(4)

azaz

N

osztható 9-cel,

n

pedig 3-mal.
Ugyancsak a (3) alattiakból

\begin{matrix} a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} = 0. \end{matrix}

(5)

Ez pedig annyit jelent, hogy

N

osztható 11-gyel;¹ mivel

N

négyzetszám és 11 törzsszám,

N

osztható

11^{2}

-ével is.
Másrészt:

\begin{matrix} b_{0} + b_{1} + b_{2} = 14. \end{matrix}

(6)

Ebből következik, hogy

n

osztható 7-tel.²
Eszerint

n

törzstényezői között szerepel 3, 7, 11, úgy hogy

\begin{matrix} n = 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot x = 231 x . \end{matrix}

és így

\begin{matrix} N = n^{2} = 53361 x^{2} . \end{matrix}

Azonban

\begin{matrix} 10000 < N < 100000 \end{matrix}

és így csak

x = 1

lehetséges, tehát

\begin{matrix} N = 231^{2} = 53361 és q q u a d {[231]}_{10} = {[347]}_{8} . \end{matrix}

Kassai József (Szent László rg. VIII. o. Bp. X.)

¹Az

a

alapú számrendszerben felírt szám, akkor osztható

(a + 1)

-gyel, ha a számjegyek összege, váltakozó előjellel véve őket, eltűnik. (L. a II. évf. 73. o. az 52. gyakorlatban.)

²Az $a$ alapú számrendszerben felírt szám akkor osztható $(a - 1)$ -gyel, ha a számjegyek összege $a - 1$ többszöröse! (L. II. évf. 42. o. a 41. gyakorlatban.)