Feladat: 1183. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Barna P. ,  Bencze J. ,  Bodó Z. ,  Cseh S. ,  Donáth G. ,  Farkas I. ,  Fried L. ,  Goldschmid V. ,  Halász I. ,  Harsányi J. ,  Holzer P. ,  Huhn P. ,  ifj. Seidl G. ,  Ilkovits I. ,  Kassai József ,  Kepes Á. ,  Kerényi R. ,  Komlós J. ,  Kottász J. ,  Kukorelly Gy. ,  Lóránd E. ,  Mandl B. ,  Marton T. ,  Mezei Gy. ,  Müller S. ,  Nagy Elemér ,  Németh K. ,  oroszhegyi Szabó L. ,  Pálos P. ,  Papp J. ,  Pázmándi L. ,  Radovics Gy. ,  Sájerman J. ,  Schwarz J. ,  Schwarz O. ,  Sebestyén Gy. ,  Splény G. ,  Szak Á. ,  Szél Gy. (Kölcsey) ,  Szele T. ,  Szelei Gy. ,  Szmák S. ,  Takács P. ,  Tamás I. ,  Zalay E. 
Füzet: 1936/március, 200 - 201. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tizes alapú számrendszer, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Szorzat, hatvány számjegyei, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1936/január: 1183. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 10-es számrendszerben felírt N szám a 8-as számrendszerben felírt n szám négyzete, úgy hogy

N=a0104+a1103+a2102+a310+a4(1)
és
n=b082+b18+b2.(2)
Feltevésünk szerint
a0+a2+a4=9ésa1+a3=9,(3)
tehát
a0+a1+a2+a3+a4=18,(4)
azaz N osztható 9-cel, n pedig 3-mal.
Ugyancsak a (3) alattiakból
a0-a1+a2-a3+a4=0.(5)
Ez pedig annyit jelent, hogy N osztható 11-gyel;1 mivel N négyzetszám és 11 törzsszám, N osztható 112-ével is.
Másrészt:
b0+b1+b2=14.(6)

Ebből következik, hogy n osztható 7-tel.2
Eszerint n törzstényezői között szerepel 3, 7, 11, úgy hogy
n=3711x=231x.
és így
N=n2=53361x2.
Azonban
10000<N<100000
és így csak x=1 lehetséges, tehát
N=2312=53361ésqquad[231]10=[347]8.

Kassai József (Szent László rg. VIII. o. Bp. X.)

1Az a alapú számrendszerben felírt szám, akkor osztható (a+1)-gyel, ha a számjegyek összege, váltakozó előjellel véve őket, eltűnik. (L. a II. évf. 73. o. az 52. gyakorlatban.)

2Az a alapú számrendszerben felírt szám akkor osztható (a-1)-gyel, ha a számjegyek összege a-1 többszöröse! (L. II. évf. 42. o. a 41. gyakorlatban.)