Kezdőlap


Feladat:	1160. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barabás J. , Bodó Z. , Erdős G. , Fábián J. , Farkas I. , Fleischer Gy. , Gergely J. , Harsányi J. , Ilkovits I. , Jacoby Gy. , Kádár Gy. , Kardos Gy. , Kepes Á. , König L. , Magyar K. , Marton T. , Nagy Elemér , Oroszhegyi Szabó Lajos , Pázmándi L. , Pick Gy. , Radovics Gy. , Reiner I. , Schwarz J. , Schön Ferenc , Somogyi Éva , Szél Gy. (Kölcsey) , Szele Tibor , Szmák Z. , Zalay E.
Füzet:	1936/január, 128 - 130. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Alakzatok szimmetriái, Középpontos tükrözés, Ponthalmazok, Indirekt bizonyítási mód, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1935/november: 1160. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Tegyük fel, hogy ponthalmaz centruma $O$ ; minthogy a halmaz véges, van ‐ legalább ‐ egy pont, $A$ , mely $O$ -tól legmesszebb van. Az $O A = r$ sugárral kört rajzolva, a halmaz pontjai nem eshetnek e körön kívül. Ezen körön fekszik $A$ -nak, az $O$ -ra vonatkoztatott szimmetrikus pontja $A_{1}$ is, mint az $A$ pontból húzott átmérő másik végpontja.
Ha a halmaznak még egy, $O$ -tól különböző centruma volna, $O'$ , akkor ennek is az előbbi körön belül kell feküdnie, tehát

\begin{matrix} O A' + O' A_{1} \geq A A_{1} = 2 r \end{matrix}

(1)

lenne. (Az egyenlőségi jel akkor érvényes, ha

O'

A A_{1}

átmérőn feküdnék.) Az (1) relációból következik, hogy ‐ mivel

O' ≢ O

‐az

O' A

és

O' A_{1}

távolságok egyike nagyobb

r

-nél. Legyen pl.

O' A > r

. Ekkor

A

-nak

O'

-re vonatkozó szimmetrikus pontja

A'

is a halmazhoz tartozik, úgyhogy

\begin{matrix} A A' > 2 r \end{matrix}

lenne, azaz

A'

a halmaz oly pontja lenne, mely a körön kívül feküdnék.

Ez azonban ellenkezik azon követelménnyel, amely szerint a halmaz egy pontja sem feküdhetik az

O

középpontú és

O A

sugarú körön kívül.

Oroszhegyi Szabó Lajos (Kegyesrendi g. VII. o. Bp. IV.)

II. Megoldás. Legyen a halmaz egy pontja

A_{0}

és tegyük fel, hogy a halmaznak két centruma volna,

O

és

O'

. Ekkor a halmazhoz kell tartozniok az

A_{0}

-nak

O

-ra vonatkoztatott tükörképének

A_{1}

-nek, az

A_{1}

-nek az

O'

-re vonatkoztatott tükörképének

A_{2}

-nek, az

A_{2}

-nek

O

-ra vonatkoztatott tükörképének

A_{3}

-nak, ennek az

O'

-re vonatkoztatott tükörképének

A_{4}

-nek is s. í. t. Ilyen módon a halmaznak végtelen sok pontja lenne.

Ugyanis, mivel

\begin{matrix} O A_{0} = O A_{1} és O' A_{1} = O' A_{2} \end{matrix}

következik:

\begin{matrix} A_{0} A_{2} ∥ O O' és A_{0} A_{2} = 2 O O' . \end{matrix}

Továbbá:

\begin{matrix} O' A_{1} = O' A_{2} és O A_{2} = O A_{3}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} A_{1} A_{3} ∥ O O' és A_{1} A_{3} = 2 O O' . \end{matrix}

Ugyanígy

A_{2} A_{4} ∥ O O'

és

A_{2} A_{4} = 2 O O'

A_{3} A_{5} ∥ O O'

és

A_{3} A_{5} = 2 O O'

s. í. t. Eszerint az

A_{0}

A_{2}

A_{4}

A_{6}

...

pontok, továbbá az

A_{1}

A_{3}

A_{5}

A_{7}

...

pontok két, az

O O'

-vel párhuzamos

e

ill.

e'

egyenesen feküdnének, ¹ egymástól különböző pontjai lennének a halmaznak. Számuk bármely nagy számnál nagyobb: ezen körülmény azonban ellenkezik azon feltevéssel, hogy a ponthalmaz véges.

Szele Tibor (ref. g. VIII. o. Debrecen)

III. Megoldás. A ponthalmazt térbeli elosztásúnak gondoljuk. Ha az

O

centrumba háromtengelyű derékszögű koordinátarendszer kezdőpontját helyezzük és a pontok koordinátáit

x_{i}

y_{i}

z_{i}

-vel jelöljük, akkor a centrum definíciója alapján

\begin{matrix} Σ x_{i} = 0, Σ y_{i} = 0, Σ z_{i} = 0, \end{matrix}

mert valamely pont és

O

-ra nézve szimmetrikus pontjának koordinátái abszolút értékre egyenlők, de ellenkező előjelűek.
Legyenek a második,

O'

centrum koordinátái

a

b

c

. A második centrumba az első rendszer tengelyeivel párhuzamos tengelyű koordinátarendszer kezdő pontját helyezzük. A pontok koordinátái ezen új rendszerben

\begin{matrix} ξ_{i} = x_{i} - a, η_{i} = y_{i} - b, ξ_{i} = z_{i} - c . \end{matrix}

Hogy

O'

is centrum legyen, annak szükséges feltétele:

\begin{matrix} Σ ξ_{i} = Σ x_{i} - Σ a = 0 - n a = 0, Σ η_{i} = - n b = 0 és Σ ξ_{i} = - n c = 0, \end{matrix}

ahol

n

a pontok száma és ez véges. Ebből következik nyilván

\begin{matrix} a = 0, b = 0, c = 0, \end{matrix}

azaz

O'

O

-ba esik.
Végtelen ponthalmaz esetén ezen okoskodás nem tartható fenn, mert ott

Σ ξ_{i}

végtelen sor összegét jelenti, melynek értéke általában a tagok sorrendjétől függ.

Schön Ferenc (Kölcsey rg. VII. o. Bp.)

¹Az

e

egyenesen

A_{0}

-ból kiindulva

O O'

irányban, az

e'

egyenesen

A_{1}

-ből kiindulva

O' O

irányban kell egymásután

2 O O'

távolságot akárhányszor felrakni!