Kezdőlap


Feladat:	1145. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bukszbaum Gy. , Gergely J. , Kádár Gy. , Komlós J. , Lóránd E. , Somogyi Éva , Szele Tibor
Füzet:	1935/november, 86 - 87. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hozzáírt körök, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1935/szeptember: 1145. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük pl. a háromszög azon hozzáírt körét, mely a $B A C ∢$ szárai közé esik.

Ki kell mutatnunk, hogy

\begin{matrix} \frac{α B}{α C} \cdot \frac{β C}{β A} \cdot \frac{γ A}{γ B} = - 1. \end{matrix}

A baloldalon álló törtek közül az első negatív, mert

α B

és

α C

ellenkező irányúak; a másik kettő pozitív, mert számláló és nevező megegyező irányú. Azt is mondhatjuk tehát, hogy a baloldalon álló szorzat abszolút értéke 1 tartozik lenni.
Kiindulva abból, hogy valamely körhöz az egy pontból húzható érintők egyenlő hosszúak, mondhatjuk, hogy irányra való tekintet nélkül:

\begin{matrix} γ A = β A, γ B = α B és α C = β C; \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} ∣ \bar{γ A} \cdot \bar{α B} \cdot \bar{β C} ∣ = ∣ \bar{β A} \cdot \bar{γ B} \cdot \bar{α C} ∣ \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} | \frac{γ A \cdot α B \cdot β C}{β A \cdot γ B \cdot α C} | = | \frac{α B}{α C} \cdot \frac{β C}{β A} \cdot \frac{γ A}{γ B} | = 1. \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} \frac{α B}{α C} \cdot \frac{β C}{β A} \cdot \frac{γ A}{γ B} = - 1. \end{matrix}

Szele Tibor (Ref. g. VIII. o. Debrecen.)