Kezdőlap


Feladat:	1137. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bálint J. , Barna T. , Bencze J. , Bodó Z. , Bródy Éva , Czinczenheim J. , Fleischer Gy. , Földesi T. , Gálik J. , Gauss J. , Gergely J. , gr. Teleki Nóra , Gyulai László , Huhn P. , ifj. Csizmás L. , Kádár Gy. , Kapcsándi L. , Kardos Gy. , Kardos I. , Kerényi R. , Komlós J. , Kukorelly Gy. , Kürthy Ö. , Mandl B. , Mihályfy E. , Moiret Margit , Molnár F. , Nagy Elemér , Pálos P. , Pázmándi L. , Pichler Gy. , Pick Gy. , Porpáczy K. , Radovics Gy. , Reiner I. , Reiter J. , Renner Z. , Rosenwald Fülöp , Schmitterer J. , Schneer Anna , Schwarz O. , Singer G. , Somogyi Éva , Szak Á. , Szele T. , Szmák Z. , Szűcsi I. , Tonigold Magda , Vargha T. , Wachsberger Gy. , Zalay E. , Zöldhegyi Gy.
Füzet:	1935/november, 76 - 77. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Szimmetrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1935/szeptember: 1137. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. A (2) egyenlet a törtek eltávolításával

\begin{matrix} y z + x (y + z) = a x y z \end{matrix}

alakban írható. (1)-ből

y + z = a - x

, (3)-ból

y z = \frac{1}{x'}

, így

\begin{matrix} \frac{1}{x} + x (a - x) = a vagy x^{3} - a x^{2} + a x - 1 = 0. \end{matrix}

(4)

Minthogy az adott egyenletrendszer

x -

y -

z

-re nézve szimmetrikus, bármelyik ismeretlenre nézve a (4) egyenletet nyerjük, a másik kettő kiküszöbölése után; tehát a (4) egyenlet gyökei az

x

y

z

oly értékrendszerét, szolgáltatják, mely az adott egyenletrendszert kielégíti. (

3! = 6

-féle elrendezésben.)
A (4) baloldala

\begin{matrix} x^{3} - 1 - a x (x - 1) = (x - 1) (x^{2} + x + 1 - a x) = (x - 1) [(x^{2} - (a - 1) x + 1] \end{matrix}

alakban írható. Eszerint e (4) egyenlet egyik gyökét

\begin{matrix} x - 1 = 0 egyenlet adja, azaz x_{1} = 1, \end{matrix}

a másik két gyöke az

\begin{matrix} x^{2} - (a - 1) x + 1 = 0 \end{matrix}

egyenletet elégíti ki. Ezen egyenlet gyökei valósak, ha

\begin{matrix} {(a - 1)}^{2} - 4 ≧ 0 vagyis (a + 1) (a - 3) ≧ 0. \end{matrix}

Ez bekövetkezik akkor, ha

\begin{matrix} a ≦ - 1 vagy a ≧ 3. \end{matrix}

Ebben az esetben

\begin{matrix} x_{2} = \frac{a - 1 + \sqrt[]{a^{2} - 2 a - 3}}{2}, x_{3} = \frac{a - 1 - \sqrt[]{a^{2} - 2 a - 3}}{2} . \end{matrix}

a = \frac{7}{2}

, akkor a (4) gyökei: 1, 2,

\frac{1}{2}

.
Az adott egyenletrendszer megoldása az 1, 2,

\frac{1}{2}

számok bármely permutációja.

Gyulai László (kegyesrendi rg. VIII. o. Sátoraljaújhely.)

II. Megoldás. A (4) alatti egyenlethez juthatunk azon meggondolás alapján, hogy az

\begin{matrix} u^{3} - A u^{2} + B u - C = 0 \end{matrix}

egyenlet együtthatói és gyökei között a köv. összefüggések állanak fenn:

\begin{matrix} A = u_{1} + u_{2} + u_{3}, B = u_{1} u_{2} + u_{1} u_{3} + u_{2} u_{3}, C = u_{1} u_{2} u_{3} . \end{matrix}

u_{1}

u_{2}

u_{3}

jelentsék az

x

y

z

értékeket, úgy hogy

\begin{matrix} A & = u_{1} + u_{2} + u_{3} = x + y + z = a \\ B & = u_{1} u_{2} + u_{1} u_{3} + u_{2} u_{3} = x y + x z + y z = a x y z = a \\ C & = u_{1} u_{2} u_{3} = x y z = 1. \end{matrix}

Eszerint

x

y

z

gyökei az

\begin{matrix} u^{3} - a u^{2} + a u - 1 = 0 \end{matrix}

egyenletnek.

Rosenwald Fülöp (izr. rg. VII. o. Bp.)