Kezdőlap


Feladat:	1127. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bálint J. , Barna T. , Gergely J. , Ilkovits I. , Jacoby Gy. , Kovács L. , Lóránd E. , Nagy E. , Pick Gy. , Schreiber B. , Somogyi Éva , Szak Á. , Személyi K.
Füzet:	1935/október, 46 - 47. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1935/május: 1127. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Végezzük el az $x = y + m$ helyettesítést az adott egyenletben:

\begin{matrix} a (y^{4} + 4 m y^{3} + 6 m^{2} y^{2} + 4 m^{3} y + m^{4}) + b (y^{3} + 3 m y^{2} + 3 m^{2} y + m^{3}) + \\ + c (y^{2} + 2 m y + m^{2}) + d (y + m) = 0. \end{matrix}

y

hatványai szerint rendezünk,

y^{3}

ill.

y

együtthatója

\begin{matrix} 4 a m + b, ill. 4 a m^{3} + 3 b m^{2} + 2 m c + d . \end{matrix}

Ezek eltűnnek, ha

\begin{matrix} m = - \frac{b}{4 a}, \end{matrix}

(2)

ill.

\begin{matrix} 4 a {(- \frac{b}{4 a})}^{3} + 3 b {(- \frac{b}{4 a})}^{2} + 2 c (- \frac{b}{a}) + d = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 8 a^{2} d + b^{3} - 4 a b c = 0. \end{matrix}

(3)

Utóbbi egyenlet azon összefüggést fejezi ki, amelynek az együtthatók között fenn kell állania, hogy

y^{2}

-ére nézve másodfokú egyenletet nyerjünk

(ha t. i. m = - \frac{b}{4 a})

2^{\circ}

. Az adott egyenletben

a = 1

b = - 4

d = 22

. Ezeket (3)-ba helyettesítve

\begin{matrix} c = \frac{8 a^{2} d + b^{3}}{4 a b} = \frac{176 - 64}{- 16} = - 7 és m = \frac{4}{4} = 1. \end{matrix}

x = y + 1

helyettesítéssel:

\begin{matrix} {(y + 1)}^{4} - 4 {(y + 1)}^{3} - 7 {(y + 1)}^{2} + 22 (y + 1) + 24 \equiv y^{4} - 13 y^{2} + 36 = 0. \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} y^{2} = 9, 4; \end{matrix}

3^{\circ}

. Ha a negyedfokú egyenlet négy valós gyöke számtani sort alkot, azaz

\begin{matrix} x_{1} = u, x_{2} = u + v, x_{3} = u + 2 v, x_{4} = u + 3 v, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} m = - \frac{b}{4 a} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}}{4} = \frac{4 u + 6 v}{4} = u + \frac{3}{2} v . \end{matrix}

x_{i} = y_{i} + m

alapján

y_{i} = x_{i} - m

, azaz

\begin{matrix} y_{1} = - \frac{3}{2} v, y_{2} = - \frac{1}{2} v, y_{3} = \frac{1}{2} v, y_{4} = \frac{3}{2} v, \end{matrix}

tehát mivel így

y_{4} = - y_{1}

és

y_{3} = - y_{2}

, az

y

oly negyedfokú egyenlet gyöke, amely

y^{2}

-re másodfokú.

Jegyzet. Az adott negyedfokú egyenletet célszerűbb lett volna

\begin{matrix} x^{4} + A x^{3} + B x^{2} + C x + D = 0 \end{matrix}

alakban megadni. Ebben az esetben az

1^{\circ}

. alatt megállapított feltétel

\begin{matrix} m = - \frac{A}{4} mellett A^{3} - 4 A B + 8 C = 0. \end{matrix}

(3a)

Ha a gyökök számtani sort alkotnak, akkor a 4 gyök két mennyiség függvénye, azaz ha

A

és

B

ismeretes, akkor

C

és

D

kiszámítható, még pedig

C

valóban az előbbi (3

a

) alapján. A (3

a

) alatti összefüggések szükségesek, hogy a gyökök számtani sort alkossanak, de nem elegendőek; ugyanis ebben az esetben a

D

is az

A

és

B

függvénye kell, hogy legyen. (L. az 1149. feladatot.)