Kezdőlap


Feladat:	1125. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bálint J. , Dénes P. , Gergely J. , Holzer P. , Ilkovits I. , Komlós J. , Pick Gy. , Schreiber Béla , Somogyi Éva , Szak Á. , Szele T. , Személyi K.
Füzet:	1935/október, 44 - 45. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Legnagyobb közös osztó, Oszthatóság, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1935/május: 1125. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat értelmében

\begin{matrix} \begin{matrix} N' = a_{0} b_{n} + a_{1} b^{n - 1} + a_{2} b^{n - 2} + \dots + a_{n - 2} b^{2} + a_{n - 1} b + a_{n} \\ N - N' = (a_{n} - a_{0}) b^{n} + (a_{n - 1} - a_{1}) b^{n - 1} + \dots + (a_{2} - a_{n - 2}) b^{2} + (a_{1} - a_{n - 1}) b + (a_{0} - a_{n}) = \\ = (a_{n} - a_{0}) (b^{n} - 1) + (a_{n - 1} - a_{1}) (b^{n - 1} - b) + (a_{n - 2} - a_{2}) (b^{n - 2} - b^{2}) + \dots + \\ + \begin{matrix} (a_{\frac{n}{2}} - a_{\frac{n}{2}}) b^{\frac{n}{2}} \\ (a_{\frac{n + 1}{2}} - a_{\frac{n - 1}{2}}) (b^{\frac{n + 1}{2}} - b^{\frac{n - 1}{2}}) \end{matrix}} \begin{matrix} hanpáros \\ hanpáratlan \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}

Már most

(a_{n} - a_{0}) (b^{n} - 1) = (a_{n} - a_{0}) (b - 1) A

, (ahol

A

b

-nek valamely egész kifejezése).
A többi tagok azonban

b (b - 1)

többszörösei, úgy, hogy

\begin{matrix} N - N' = (a_{n} - a_{0}) (b - 1) A + b (b - 1) B . \end{matrix}

Ha már most

d

a_{n} - a_{0}

és

b

legn. k. osztója, akkor

N - N'

kifejezésében mindegyik tag osztható

d (b - 1)

-gyel, tehát

N - N'

is osztható

d (b - 1)

-gyel.

Schreiber Béla (izr. rg. V. o. Bp.)