Kezdőlap


Feladat:	1121. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fleischer György , Földesi T. , Kepes Á. , Kürthy Ö. , Nagy E. , Schreiber B. , Szele T. , Személyi K. , Villani F.
Füzet:	1935/szeptember, 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1935/április: 1121. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Alapul véve az ismeretes

\begin{matrix} 1 + cos 2 ϕ = 2 cos^{2} ϕ és sin 2 ϕ = \frac{2 tgϕ}{1 + {t g}^{2}ϕ} \end{matrix}

összefüggéseket írhatjuk:

\begin{matrix} u = 1 + cos [2 (α + β) - \frac{π}{2}] = 1 + cos [\frac{π}{2} - 2 (α + β)] = 1 + sin 2 (α + β) = \\ = 1 + \frac{2 tg (α+β)}{1 + {t g}^{2}(α+β)} = \frac{1 + {t g}^{2}(α+β) +2 tg(α+β)}{1 + {t g}^{2}(α+β)} = \frac{{[1 + tg(α+β)]}^{2}}{1 + {t g}^{2}(α+β)} . \end{matrix}

Ha most ide helyettesítjük

\begin{matrix} tg(α+β)=\frac{tgα+tg β}{1 - tgα tgβ} \end{matrix}

értékét, keletkezik:

\begin{matrix} u = \frac{{[(1 - tg α tg β) + (tg α + tg β)]}^{2}}{{(1 - tgαtg β)}^{2} + {(tgα+tg β)}^{2}} . \end{matrix}

Tekintettel már most arra, hogy

\begin{matrix} tg α + tg β = - P, tg α tg β = q, \\ u = \frac{{(1 - q - p)}^{2}}{{(1 - q)}^{2} + p^{2}} . \end{matrix}

Fleischer György (érseki rg. VIII. o. Bp. II.)