Feladat: 1086. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csanádi Gy. ,  Gergely János ,  Schuller I. 
Füzet: 1935/március, 198 - 199. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Geometriai egyenlőtlenségek, Tengelyes tükrözés, Háromszögek nevezetes tételei, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1935/január: 1086. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az előző feladatban foglaltakra támaszkodva oldjuk meg ezt a feladatot.

 
 

A KLM-ben fekvő A és B pontokat összekötő törtvonal először a KL, azután az LM, végül az MK oldalon törik meg. Már most legyen az A szimmetrikusa a KL-re nézve A', ennek szimmetrikusa LM-re nézve A'' és B szimmetrikusa MK-ra nézve B'. Kössük össze A''-t B'-vel; az A''B' egyenes az LM-et a D, MK-t az E pontban metszi. Továbbá az A'D egyenes a KL-t messe a C pontban. Így a keresett legrövidebb törtvonal: ACDEB.
A szimmetria miatt: AC=A'C;
AC+CD=A'C+CD=A'D=A''D;
továbbá EB=EB'. Eszerint
ACDEB=AC+CD+DE+EB=A''D+DE+EB'=A''B'.



Az ACDEB törtvonal hossza megegyezik az A''B' távolságéval.
Legyen már most egy tetszőleges törtvonal AGHIB, úgy hogy
AGHIB=AG+GH+HI+IB.

A szimmetria miatt: AG=A'G és A'H=A''H; tehát
AG+GH=A'G+GH>A'H=A''H.

Másfelől IB=IB'; ennélfogva
A'G+GH+HI+IB>A''H+HI+IB'>A''B',
azaz
AGHIB>ACDEB.

Gergely János (Berzsenyi Dániel rg. VII. o. Bp. V.)
 

Jegyzet. Más törtvonalat kapunk, ha a törtvonal más sorrendben ér az oldalakhoz.
Ugyanezen feladatot a téglalapra nézve megoldottuk az I. évf. 93. oldalán, a 31. feladatban.
Ha A és B tetszőleges sokszögön belül fekszik, hasonló eljárás alapján oldjuk meg a feladatot.