Feladat: 1085. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  br. Villani F. ,  Csanádi Gy. ,  Fischman Éva ,  Gergely J. ,  Ilkovits I. ,  Lusteiner Gy. ,  Schuller I. 
Füzet: 1935/március, 198. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Geometriai egyenlőtlenségek, Tengelyes tükrözés, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1935/január: 1085. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ezen feladat megoldásánál úgy kell eljárnunk, mint amikor adva van egy egyenes, ennek egyik oldalán két pont, A és B és keressük azon legrövidebb törtvonalat, mely A-t összeköti B-vel és az adott egyenesen törik meg. T.i. megszerkesztjük pl. B-nek az egyenesre vonatkozó szimmetrikusát B'-t: az AB' egyenes az adott egyenest az M pontban metszi: AMB a keresett legrövidebb törtvonal.

 
 

A mi esetünkben már most tegyük fel, hogy az A-ból kiinduló törtvonal először az OX, azután az OY egyenesen törik meg. Ekkor legyen A' az A szimmetrikusa OX-re, B' a B szimmetrikusa OY-ra nézve. Kössük össze A'-t B'-vel: az A'B' az OX egyenest a C, az OY egyenest a D-ben metszi: az ACDB törtvonal lesz a keresett legrövidebb az A és B között.1
A szimmetria miatt:
AC=A'C  és  BD=B'D  úgyhogyACDB=AC+CD+DB=A'C+CD+DB'=A'B'.


Ha egy tetszőleges törtvonal AEFB, úgyhogy E az OX, F az OY egyenesen fekszik, akkor a szimmetria miatt
AE=A'E,FB=FB',AEFB=AE+EF+FB=A'E+EF+FB'.



Azonban nyilván
A'E+EF+FB'>A'B',
tehát AEFB>ACDB.
 

Fischman Éva (izr.leányg. VIII. o. Bp.)

1L. I. évf. 82. oldalon a 27. gyakorlatot.