Kezdőlap


Feladat:	1067. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bauer Gy. , Brill Gy. , Csanádi Gy. , Czégé I. , Fenyő I. , Fleischer Gy. , Földesi T. , Gergely J. , Győző F. , Harsányi J. , Hernády D. , Hümpfner Olga , Jacoby Gy. , Jász L. , Kádár Gy. , Kedvessy K. , Kovács L. , Kürthy Ö. , Magyar K. , Nagy Gy. , Pulay M. , Róth Gy. , Schneer Anna , Schreiber B. , Schwarz Ö. , Somogyi Éva , Sorok J. , Szak Á. , Szele T. , Személyi K. , Tarnóczy L. , Valatin János , Vass T. , Verebély L. , Villani F.
Füzet:	1935/február, 155 - 156. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1934/december: 1067. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Utóbbi egyenlet

\begin{matrix} (a b' - b a') x + (a c' - c a') = 0 \end{matrix}

alakban írható és ennek gyöke

\begin{matrix} x = - \frac{a c' - c a'}{a b' - b a'} = \frac{c a' - a c'}{a b' - b a'} = \frac{\frac{c}{a} - \frac{c'}{a'}}{\frac{b'}{a'} - \frac{b}{a}} \end{matrix}

ha t.i. a számláló és nevező minden tagját

a a'

-vel osztjuk.
Azonban:

\begin{matrix} \frac{c}{a} = x_{1} x_{2}, \frac{c'}{a'} = x'_{1} x'_{2}, \frac{b}{a} = - (x_{1} + x_{2}), \frac{b'}{a'} = - (x'_{1} + x'_{2}) . \end{matrix}

Eszerint a köv. egyenlőségnek kell fennállania:

\begin{matrix} \frac{(x_{1} + x_{2}) + (x'_{1} + x'_{2})}{4} = \frac{x_{1} x_{2} - x'_{1} - x'_{2}}{(x_{1} + x_{2}) - (x'_{1} + x'_{2})} \end{matrix}

vagy:

\begin{matrix} {(x_{1} + x_{2})}^{2} - {(x'_{1} + x'_{2})}^{2} = 4 (x_{1} x_{2} - x'_{1} x'_{2}), \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} = {(x'_{1} + x'_{2})}^{2} - 4 x'_{1} x'_{2} \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} {(x_{1} - x_{2})}^{2} = {(x'_{1} - x'_{2})}^{2} . \end{matrix}

Ha feltételezzük, hogy

x_{1} > x_{2}

és

x'_{1} > x'_{2}

akkor a keresett összefüggés:

\begin{matrix} x_{1} - x_{2} = x'_{1} - x'_{2} . \end{matrix}

Valatin János (Verbőczy István rg. VIII. o. Bp. I.)