Kezdőlap


Feladat:	1065. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Czégé I. , Fenyő I. , Fleischer Gy. , Halmágyi Z. , Jász L. , Kádár Gy. , Kálmán L. , Kürthy Ö. , Lóránd E. , Lusteiner Gy. , Mandl B. , Pulay M. , Róth Gy. , Rott M. , Schwarcz J. , Schwartz O. , Somogyi Éva , Szak Á. , Szele Tibor , Személyi K. , Valatin J.
Füzet:	1935/február, 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Legnagyobb közös osztó, Oszthatósági feladatok, Pitagoraszi számhármasok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1934/december: 1065. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hogy $x$ , $y$ , $z$ oly egész ‐ és relatív prím ‐ számok csoportja legyen, amely kielégíti az $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ egyenletet, szükséges és elegendő, hogy

\begin{matrix} x = u^{2} - v^{2}, y = 2 u v, z = u^{2} + v^{2} \end{matrix}

legyen, ahol

u

v

relatív prímszámok és egyikük páros szám. Ha már most az

u

v

számok egyike

5

többszöröse, akkor

y

is az. Ha az

u

v

számok egyike sem osztható

5

-tel, akkor

x = u^{2} - v^{2}

vagy

z = u^{2} + v^{2}

osztható

5

-tel. Ugyanis

\begin{matrix} x z = (u^{2} - v^{2}) (u^{2} + v^{2}) = u^{4} - v^{4} = (u^{4} - 1) - (v^{4} - 1) . \end{matrix}

Azonban

u^{4} - 1 = (u^{2} - 1) (u^{2} + 1)

osztható

5

-tel, mert vagy

u^{2} - 1

vagy

u^{2} + 1

osztható

5

-tel. ^{$^{*}$} Hasonlóan

v^{4} - 1

5

többszöröse ‐ Eszerint az

x z

szorzat is osztható

5

-tel, egy törzsszámmal: kell, hogy a tényezők egyike osztható legyen

5

-tel.

Szele Tibor (Ref. g. VII. o. Debrecen).

^{$^{*}$}A négyzetszámok utolsó jegye

4

5

6

vagy

9

0

1

. Az

5

-tel nem osztható számok négyzeteinek utolsó jegye:

4

6

9

1