Feladat:	1057. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Andreánszky Gábor ,  Antók F. ,  Bábolnay L. ,  Bak L. ,  Bálint Gy. ,  Bauer Gy. ,  Bencze J. ,  Brill Gy. ,  Bródy Éva ,  Bukszbaum Gy. ,  Csaba A. ,  Csanádi Gy. ,  Czégé I. ,  Czetz S. ,  Darvasy M. ,  Datner P. ,  Donáth G. ,  Faragó P. ,  Fenyő I. ,  Fenyvesi E. ,  Fóris M. ,  Freund K. ,  Földesi T. ,  Gombos F. ,  Groág J. ,  Győry B. ,  Győző F. ,  Hümpfner Olga ,  Jász L. ,  Kádár Gy. ,  Kálmán L. ,  Kardos Gy. ,  Kazinczy L. ,  Kedvessy K. ,  Keller Vera ,  Kepes Á. ,  Kerényi R. ,  Krausz J. ,  Kukorelly Gy. ,  Lóránd E. ,  Magyar K. ,  Pánczél J. ,  Pásztor F. ,  Pick Gy. ,  Polgár J. ,  Pollák Gy. ,  Pulay M. ,  Reinhardt O. ,  Róth Alice ,  Róth Gy. ,  Rott M. ,  Schuller I. ,  Schwarz O. ,  Schön J. ,  Somogyi Éva ,  Sorok J. ,  Székely J. ,  Szele T. ,  Személyi K. ,  Szücsi I. ,  Tarnóczy L. ,  Turda E. ,  Valatin J. ,  Varga T. ,  Varga Z. ,  Villani F.
Füzet:	1935/január, 129. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Azonosságok, Konvergens végtelen sorozatok, Számsorok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1934/november: 1057. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle 2^{\frac{1}{4}}\cdot 4^{\frac{1}{8}}\cdot 8^{\frac{1}{16}}\cdot {16}^{\frac{1}{32}}\text{...}=2^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{\frac{2}{8}}\cdot 2^{\frac{3}{16}}{\cdot }^{\frac{4}{32}}\text{...}=2^{\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\frac{4}{32}+\text{...}}}\end{array}$ Azonban: $\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\frac{4}{32}+\text{...}=\frac{1}{4}\left(1+2\cdot \frac{1}{2}+3\cdot \frac{1}{4}+4\cdot \frac{1}{8}+\text{...}\right)$ A zárójelen belül eszerint $\begin{array}{c}{\displaystyle 1+2x+3x^2+4x^3+\text{...}}\end{array}$ alakú végtelen sorral van dolgunk, ahol $x=\frac{1}{2}$, azaz $|x|<1$. Ezen sor összetartó és értéke1: $\frac{1}{{\left(1-x\right)}^2}=\frac{1}{{\left(1-\frac{1}{2}\right)}^2}=4$. Eszerint $\begin{array}{c}{\displaystyle 2^{\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\frac{4}{32}+\text{...}}=2^{\frac{1}{4}\left(1+2\cdot \frac{1}{2}+3\cdot \frac{1}{4}+4\cdot \frac{1}{8}+\text{...}\right)}=2^{\frac{1}{4}\cdot 4}=2.}\end{array}$ Andreánszky Gábor (Balassi Bálint rg. VII. o. Balassagyarmat). 1 L. II. évf. 94. feladatot a 145. oldalon.