Kezdőlap


Feladat:	1051. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Czégé I. , Fábián János , Fenyő I. , Fleischer Gy. , Hümpfner Olga , Jacoby Gy. , Jász L. , Kovács L. , Kürthy Ö. , Magyar K. , Ozsdolay Gy. , Renner Z. , Szele T. , Szeliczky Dezső , Személyi K. , Ungár Gy. , Vass T.
Füzet:	1934/december, 102 - 103. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Geometriai egyenlőtlenségek, Trigonometriai azonosságok, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Terület, felszín, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1934/október: 1051. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kiindulunk a háromszög területét meghatározó

\begin{matrix} t = \frac{a^{2} sin β sin γ}{2 sin α} \end{matrix}

képletből. Feladatunk követelménye:

\begin{matrix} \frac{a^{2} sin β sin γ}{2 sin α} = k^{2}, azaz sin β sin γ = \frac{2 k^{2} sin α}{a^{2}} = \frac{2 k^{2} sin σ}{a^{2}}, \end{matrix}

(1)

mert

α = 180^{\circ} - σ

, tehát

sin α = sin σ

.
Azonban

\begin{matrix} sin β sin γ = \frac{1}{2} [cos (β + γ) - cos (β + γ)] = \frac{1}{2} [cos (β - γ) - cos σ] . \end{matrix}

Ezt helyettesítve (1)-be, keletkezik:

\begin{matrix} cos (β - γ) = \frac{4 k^{2} sin σ}{a^{2}} + cos σ = \frac{4 k^{2} sin σ + a^{2} cos σ}{a^{2}} . \end{matrix}

(2)

Minthogy

0 \leq β - γ < β + γ = σ

, azért

cos σ < cos (β - γ) \leq 1

, vagyis

\begin{matrix} cos σ < \frac{4 k^{2} sin σ}{a^{2}} + cos σ \leq 1. \end{matrix}

(3)

Ezen kettős egyenlőtlenség közül a baloldali mindig ki van elégítve mert

sin σ > 0

. A jobboldali egyenlőtlenségből:

\begin{matrix} 4 k^{2} sin σ + a^{2} cos σ \leq a^{2} ill. 4 k^{2} sin σ \leq a^{2} (1 - cos σ) . \end{matrix}

\begin{matrix} 4 k^{2} \leq \frac{a^{2} (1 - cos σ)}{sin σ} = \frac{a^{2} \cdot 2 sin^{2} \frac{σ}{2}}{2 sin \frac{σ}{2} cos \frac{σ}{2}}, vagyis k^{2} \leq \frac{a^{2}}{4} tg \frac{σ}{2} \end{matrix}

(4)

feltétel keletkezik. Az egyenlőségi jel akkor érvényes, ha

cos (β - γ) = 1

, azaz

β = γ

, tehát egyenlő szárú háromszög esetében.

Fábián János és Szeliczky Dezső (Bencés gimn. VII. o. Esztergom)

Jegyzet. Ezen (4) feltétel helyessége könnyen ellenőrizhető. Szerkesszünk kört, melyben az

a

hosszúságú húrhoz

α = 180^{\circ} - σ

kerületi szög tartozik. Mindazon háromszögek között, melyekben

a

és

α

ugyanaz, legnagyobb területe van az egyenlő szárú háromszögnek, mert ennek van a szilárd alaphoz tartozó legnagyobb magassága; ennek területe:

\begin{matrix} t = \frac{a^{2}}{4} cotg \frac{α}{2} = \frac{a^{2}}{4} tg \frac{σ}{2} . \end{matrix}