Kezdőlap


Feladat:	1043. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél E. , Bacsó J. , Bak L. , Barna T. , Bauer Gy. , Bukszbaum Gy. , Csanádi Gy. , Csurgói ref. rg. VI. , Czégé I. , Demjén J. , Dénes Gy. , Donáth G. , Fábián J. , Fenyő I. , Fenyvesi E. , Fischmann Éva , Fleischer Gy. , Freund K. , Füves I. , Gálik F. , Gosztonyi A. , Groág J. , Győző F. , Hatos J. , Hirschler Z. , Homonnay L. , Hümpfner Olga , Jacoby Gy. , Jász L. , Kádár Gy. , Kálmán L. , Kerényi Rezső , Kovács L. , Kozma J. , Krakovits J. , Lossinszky T. , Magyar K. , Major I. , Mandl B. , Marek Tivadar , Ozsdolay Gy. , Pestál A. , Pichler Gy. , Polónyi J. , Porges A. , Rátky L. , Renner Z. , Révész A. , Rolich A. , Róth Gy. , Schwarcz O. , Schön J. , Selig K. , Sonnenfeld Gy. , Steiner Z. , Szak Á. , Szele T. , Szeleczky D. , Szücsi I. , Tarnóczy L. , Turda E. , Ungár Gy. , Varga Z. , Vass T. , Verebély L. , Villani F. , Vozáry P. , Völgyi B. , Weiszfeld I. , Ökrös J.
Füzet:	1934/december, 95 - 96. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Szimmetrikus egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1934/október: 1043. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás.

\begin{matrix} {(1 + x)}^{4} = 1 + 4 x + 6 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4} . \end{matrix}

Rendezve a megadott egyenletet:

\begin{matrix} x^{4} + 8 x^{3} + 12 x^{2} + 8 x + 1 = 0. \end{matrix}

Ezen egyenletet

x = 0

nem elégíti ki; oszthatunk tehát minden tagot

x^{2}

-ével:

\begin{matrix} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 8 (x + \frac{1}{x}) + 12 = 0. \end{matrix}

Ha már most

x + \frac{1}{x} = u

, akkor

x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = u^{2} - 2

.
Ezt helyettesítve, keletkezik:

\begin{matrix} u^{2} + 8 u + 10 = 0 és innen u = - 4 \pm \sqrt[]{6} . \end{matrix}

u

mindegyik értékéhez az

\begin{matrix} x + \frac{1}{x} = u ill. x^{2} - u x + 1 = 0 \end{matrix}

egyenlet alapján

x

-nek két értéke tartozik; még pedig

\begin{matrix} u = - 4 + \sqrt[]{6} mellett x_{1,2} = \frac{- 4 + \sqrt[]{6} \pm \sqrt[]{18 - 8 \sqrt[]{6}}}{2}, \\ u = - 4 - \sqrt[]{6} mellett x_{3,4} = \frac{- 4 - \sqrt[]{6} \pm \sqrt[]{18 + 8 \sqrt[]{6}}}{2} . \end{matrix}

Az adott negyedfokú egyenletnek négy gyöke van; ezek közül kettő,

x_{3}

és

x_{4}

, valós, a másik kettő,

x_{1}

és

x_{2}

nem.

Kerényi Rezső (Bencés gimn. VII. o. Győr)

II. Megoldás. Amint láttuk, egyenletünk

\begin{matrix} x^{4} + 8 x^{3} + 12 x^{2} + 8 x + 1 = 0 \end{matrix}

alakra hozható. Adjunk ezen egyenlet mindkét oldalához

6 x^{2}

-et, akkor keletkezik:

\begin{matrix} {(x^{2} + 4 x + 1)}^{2} = 6 x^{2} ill. {(x^{2} + 4 x + 1)}^{2} - 6 x^{2} = 0. \end{matrix}

Utóbbi egyenlet baloldalát tényezőire bontva:

\begin{matrix} (x^{2} + 4 x + 1 + x \sqrt[]{6}) (x^{2} + 4 x + 1 - x \sqrt[]{6}) = 0, \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} [x^{2} + (4 \sqrt[]{6}) x + 1] [x^{2} + (4 - \sqrt[]{6}) x + 1] = 0. \end{matrix}

Innen:

\begin{matrix} I. x^{2} + (4 + \sqrt[]{6}) x + 1 = 0, tehát x \frac{- (4 + \sqrt[]{6}) \pm \sqrt[]{18 + 8 \sqrt[]{6}}}{2} . \end{matrix}

\begin{matrix} II. x^{2} + (4 - \sqrt[]{6}) x + 1 = 0, tehát x \frac{- (4 - \sqrt[]{6}) \pm \sqrt[]{18 - 8 \sqrt[]{6}}}{2} . \end{matrix}

Marek Tivadar (Kölcsey Ferenc rg. VII. o. Bp. VI.)