Kezdőlap


Feladat:	1033. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Andreánszky G. , Arató F. , Bábolnay L. , Bauer Gy. , Bukszbaum Gy. , Csanády Gy. , Czetz S. , Fábián I. , Fenyő I. , Fleischer Gy. , Füves I. , Gergely F. , Hirschler Z. , Homonnay S. , Hümpfner Olga , Jakoby Gy. , Jász L. , Kádár Gy. , Kálmán L. , Kovács J. , Kozma B. , Lerchner J. , Lukács P. , Marek T. , Marton T. , Ozsdolay Gy. , Pásztor F. , Péterdi A. , Sonnenfeld Gy. , Surányi J. , Szeleczky D. , Ungár Gy. , Valatin J. , Vass T. , Villani F. , Völgyi B. , Wachsberger Gy.
Füzet:	1934/november, 72 - 73. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1934/szeptember: 1033. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az (1) és (2) egyenletek megfelelő oldalainak kivonásával

\begin{matrix} x^{2} - y^{2} + z (y - x) = 0 vagyis (x - y) (x + y - z) = 0. \end{matrix}

(4)

A (4)-ből következik, hogy

\begin{matrix} vagy x - y = 0, vagy x + y - z = 0. \end{matrix}

Vizsgáljuk külön a két esetet.
I.

x - y = 0

, ill.

x = y

. Helyettesítsünk egyenleteinkbe

y

helyébe

x

-et (1)-ből és (2)-ből ugyanazt kapjuk:

\begin{matrix} x^{2} + x z = c, & (5) \\ z^{2} + x^{2} = a . & (6) \end{matrix}

(5)-ből

z = \frac{c - x^{2}}{x}

. Ezt (6)-ba helyettesítjük:

\begin{matrix} {(\frac{c - x^{2}}{x})}^{2} + x^{2} = a; rendezve : 2 x^{4} - (a + 2 c) x^{2} + c^{2} = 0. \end{matrix}

(7)

Innen

\begin{matrix} x^{2} = \frac{a + 2 c \pm \sqrt[]{a^{2} + 4 a c - 4 c^{2}}}{4} és x = \pm \frac{1}{2} \sqrt[]{a + 2 c \pm \sqrt[]{a^{2} + 4 a c - 4 c^{2}}} . \end{matrix}

Továbbá

\begin{matrix} y = x és z = \frac{c - x^{2}}{x} = \frac{2 c - a \mp \sqrt[]{a^{2} + 4 a c - 4 c^{2}}}{4 x} . \end{matrix}

II.

x + y - z = 0

ill.

x + y = z

. Ennek alapján

z

értékét helyettesítjük:

\begin{matrix} x^{2} + y (x + y) = c, & (8) \\ {(x + y)}^{2} + x y = a . & (9) \end{matrix}

(8) írható így is:

\begin{matrix} {(x + y)}^{2} - x y = c . \end{matrix}

(8a)

a

) és (9)-ből összeadással

2 {(x + y)}^{2} = a + c, ill. x + y = \pm \sqrt[]{\frac{a + c}{2}}

, tehát

\begin{matrix} z = \pm \sqrt[]{\frac{a + c}{2}} . \end{matrix}

Továbbá kivonással:

\begin{matrix} 2 x y = a - c . \end{matrix}

Eszerint

x

és

y

, minthogy összegük és szorzatuk ismeretes, a köv. másodfokú egyenletek gyökei:

\begin{matrix} u^{2} - \sqrt[]{\frac{a + c}{2}} u + \frac{1}{2} (a - c) = 0, & (10) \\ v^{2} + \sqrt[]{\frac{a + c}{2}} v + \frac{1}{2} (a - c) = 0. & (11) \end{matrix}

x = u_{1}

, ill.

v_{1}

, akkor

y = u_{2}

ill.

v_{2}

; de éppúgy lehet

x = u_{2}

ill.

v_{2}

és

y = u_{1}

ill.

v_{1}

\begin{matrix} u_{1} és u_{2} a z_{1} = + \sqrt[]{\frac{a + c}{2}}, v_{1} és v_{2} a z_{2} = - \sqrt[]{\frac{a + c}{2}} \end{matrix}

értékhez tartoznak.
Már most

\begin{matrix} u_{1,2} = \frac{\sqrt[]{a + c} \pm \sqrt[]{5 c - 3 a}}{2 \sqrt[]{2}} . \\ v_{1,2} = \frac{- \sqrt[]{a + c} \pm \sqrt[]{5 c - 3 a}}{2 \sqrt[]{2}} . \end{matrix}

A számítás teljessége kedvéért felírjuk a (10) és (11) egyenletek discriminánsát részletesen:

\begin{matrix} {(\pm \sqrt[]{\frac{a + c}{2}})}^{2} - 4 \frac{a - c}{2} = \frac{a + c}{2} - \frac{4 (a - c)}{2} = \frac{a + c - 4 a + 4 c}{2} = \frac{5 c - 3 a}{2} . \end{matrix}

Az összetartozó értékek rendszerei:

\begin{matrix} \begin{matrix} x & u_{1} & u_{2} & v_{1} & v_{2} \\ y & u_{2} & u_{1} & v_{2} & v_{1} \\ z & z_{1} & z_{1} & z_{2} & z_{2} \end{matrix} \end{matrix}

Hümpfner Olga (Szent-Orsolyarendi leánygimn. VIII. o. Sopron)