Kezdőlap


Feladat:	992. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bauer Gy. , Czégé I. , Deutsch E. , Erőd J. , Eschenbach O. , Fenyő I. , Fodor I. , Füves I. , Gribács L. , Jász L. , Kiss T. , Kovács P. , Oestreicher J. , Paál S. , Pohlencz A. , Pulay M. , Róth Gy. , Singer G. , Spitz M. , Steiner Zoltán , Szele T. , Személyi K. , Taskó Gy. , Túri P. , Vankó R. , Varga Z. , Vass T. , Vozáry P. , Ökrös J.
Füzet:	1934/április, 226 - 228. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elemi függvények differenciálhányadosai, Függvények folytonossága, Függvényvizsgálat, Egyenesek egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1934/február: 992. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Keressük meg a függvény nevezetes pontjait. $y = 0$ , ha $x = 0$ , továbbá, ha $x \pm \infty$ . A függvény görbéje keresztül megy az origón és az $X$ -tengelyhez aszimptotikusan közeledik mind a két oldalon.
$2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ az $x_{1} = \frac{1}{2}$ és $x_{2} = 2$ helyeken; itt a függvény folytonossága megszűnik, még pedig,
mivel

\begin{matrix} 2 x^{2} - 5 x + 2 > 0, ha x < \frac{1}{2} vagy x > 2 \end{matrix}

és

\begin{matrix} 2 x^{2} - 5 x + 2 < 0, ha \frac{1}{2} < x < 2 \end{matrix}

x = \frac{1}{2}

helyen

+ \infty

-től megy át

- \infty

-be, az

x = 2

helyen

- \infty

-ből

+ \infty

-be. Az

x = 0, 5

és

x = 2

egyenesek a görbe aszimptotái. Eszerint a görbe három ágból áll.
A függvény differenciálhányadosa:

y' = - \frac{2 (x^{2} - 1)}{{(2 x^{2} - 5 x + 2)}^{2}}

y' = 0

, ha

x \pm 1

. Az

x = - 1

helyen

y'

neg. értékekből megy át poz. értékekbe, az

x = + 1

helyen poz. értékekből negativ értékekbe. Eszerint

x = - 1

helyen minimuma,

x = + 1

helyen maximuma van a függvénynek. Az

x = \pm \infty

helyeken

y' = 0

, azaz, mint már kiemeltük, az

X

-tengely a görbe aszimptotája.
A függvény változásának jellemzésére szolgáljon a köv. táblázat.

\begin{matrix} x & - \infty & - 1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 & 2 & 2 & + \infty \\ y' & 0 & - & 0 & + & \frac{1}{2} & + & + \infty & + \infty & + & 0 & - & - \infty & - \infty & - & 0 \\ y & 0 & ↘ & \binom{- \frac{1}{9}}{min.} & ↗ & 0 & ↗ & + \infty & - \infty & ↗ & - 1 & ↘ & - \infty & + \infty & ↘ & 0 \end{matrix}

x = 0

pontban

y' = \frac{1}{2}

; tehát az érintő egyenlete ezen pontban:

y = \frac{x}{2}

. Ezen egyenes oly pontokban metszi a görbét, amelyekre nézve

\begin{matrix} y = \frac{x}{2} = \frac{x}{2 x^{2} - 5 x + 2} \end{matrix}

vagyis

x^{2} (2 x - 5) = 0

x^{2} = 0

az érintést fejezi ki az

x = 0

pontban. Az itt húzott érintő

x = 2, 5

pontban metszi a görbét erre nézve

y = \frac{x}{2} = 1, 25

2^{\circ}

. Az

y = m x

egyenes oly pontokban metszi a görbét, amelyekre nézve

\begin{matrix} m x = \frac{x}{2 x^{2} - 5 x + 2} vagyis x (2 m x^{2} - 5 m x + 2 m - 1) = 0. \end{matrix}

Itt megjegyezzük, hogy kizárjuk a

2 x^{2} - 5 x + 2 = 0

eshetőséget; ugyanis, mint láttuk, ekkor

y = \infty

, véges

x

érték mellett; ezekre nézve tehát

m = \infty

.
Az

y = m x

egyenes a görbét az

x = 0

ponton kívül még két pontban metszi, amelyeknek abscissái az

\begin{matrix} f (x) \equiv 2 m x^{2} - 5 m x + 2 m - 1 = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei:

\begin{matrix} x_{1,2} = \frac{5 m \pm \sqrt[]{9 m^{2} + 8 m}}{4 m} . \end{matrix}

Ezek valósak, ha

(9 m + 8) m > 0

, azaz ha

m < - \frac{8}{9}

és ha

m > 0

.
Az

M' M''

távolság

M

felezőpontjának koordinátái:

\begin{matrix} ξ = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{5 m}{2 \cdot m} = \frac{5}{4}, η = m ξ = \frac{5 m}{4} . \end{matrix}

Azonban az

M'

és

M''

és így az

M

is képzetes, ha

- \frac{8}{9} < m < 0

. Eszerint az

M

pont az

x = \frac{5}{4}

egyenesen fekszik, de ezt nem írja le egészen; t. i. ki kell zárnunk az előbbi megállapítás szerint az egyenes azon darabját, amely az

- \frac{8}{9} < m < 0

értékekhez tartozik, tehát azon pontokat, melyeknek ordinátái

\begin{matrix} y = - \frac{8}{9} \cdot \frac{5}{4} = - \frac{10}{9} és y = 0 \end{matrix}

között vannak, azaz

- \frac{10}{9} < y < 0

Steiner Zoltán (Árpád vezér rg. VII. o. Bp. III.)