Legyen $x$ egy $n$-nél kisebb szám, mely $n$-hez relatív prím: $\left(x\mathrm{,}n\right)\sim 1$¹. Ha $x$ páratlan szám, akkor egyszersmind $\left(x\mathrm{,2}n\right)\sim 1$; de ha $x$ páros, akkor $\left(x\mathrm{,2}n\right)\sim 2$. Azonban most $x+n$ a páratlan és $\left(x+n\mathrm{,2}n\right)\sim 1$; tehát vagy $x$ vagy $x+n$ a $2n$-hez relatív prím.
Ezekkel azonban kimerítettük a $2n$-hez relatív prím számokat; mert ha² $y$ az $n$-hez nem relatív prím, akkor sem $y$, sem $y+n$ nem relatív prím a $2n$-hez.
Megfordítva: ha $\left(z\mathrm{,2}n\right)\sim 1$, akkor $z$ páratlan és $\left(z\mathrm{,}n\right)\sim 1$. Két eset lehetséges: $z<n$, vagy $n<z<2n$. Utóbbi esetben $z-n$ az $n$-nél kisebb páros szám, úgy hogy $\left(z-n\mathrm{,}n\right)\sim 1$.

²$y<n$.