Kezdőlap


Feladat:	977. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bauer Gy. , Buresch R. , Csanádi Gy. , Czégé I. , Deutsch E. , Holló Ágnes , Kaiser F. , Kaufmann István , Kiss T. , Lusteiner Gy. , Meller Tamás , Pikler F. , Rónai Jenö , Semadam K. , Személyi K. , Vozáry P. , Wagner W. , Weiszfeld E. , Ökrös J.
Füzet:	1934/március, 192 - 193. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Permutációk, Oszthatóság, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1934/január: 977. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Kiindulunk abból, hogy

\begin{matrix} (a_{1} - 1) + (a_{2} - 2) + \dots + (a_{n} - n) = (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) - (1 + 2 + \dots + n) = 0. \end{matrix}

Ha a baloldalon álló különbségek abszolút értékeire térünk át, két eset lehetséges:
1.

a_{i} - i \geq 0

és ekkor

| a_{i} - i | - (a_{i} - i) = 0

.

2.

a_{k} - k < 0

és ekkor

| a_{k} - k | - (a_{k} - k) = 2 | a_{k} - k |

,

tehát

\begin{matrix} \sum_{r = 1}^{n} | a_{r} - r | - \sum_{r = 1}^{n} (a_{r} - r) = 2 M . \end{matrix}

Minthogy

\sum_{r = 1}^{n} (a_{r} - r) = 0, következik: \sum_{r = 1}^{n} | a_{r} - r | = 2 M

Kaufmann István és Rónai Jenő (Dugonics András g. VIII. o. Szeged.)

II. Megoldás. A különbségeknél négy eset lehet:

\begin{matrix} a) & | páros-páros | & páros & szám; & ilyen & legyen & i. \\ b) & | páros-páratlan | & páratlan; & szám; & ilyen & legyen & j. \\ c) & | páratlan-páros | & '' & ''; & '' & '' & k \\ d) & | páratlan-páratlan | & páros & szám; & '' & '' & l \end{matrix}

A különbségekben szereplő kisebbítendők ugyanazon számok összességét adják, mint a kivonandók, tehát^{$^{*}$}

\begin{matrix} i + j = i + k és k + l = j + l . \end{matrix}

Innen

j = k

, úgy hogy

j + k = 2 j = 2 k

, azaz páros szám; ezért a b) és c) alatti különbségek összege is páros szám.

Meller Tamás (Áll. Révai Miklós r. VI. o. Győr.)

^{$^{*}$}Az a) és b) különbségekben a kisebbítendők sorozata megegyezik az a) és c) kivonandóinak sorozatával; a c) és d)-ben a kisebbítendők ugyanazok, mini a b) és d)-ben a kivonandók.