Feladat: 977. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bauer Gy. ,  Buresch R. ,  Csanádi Gy. ,  Czégé I. ,  Deutsch E. ,  Holló Ágnes ,  Kaiser F. ,  Kaufmann István ,  Kiss T. ,  Lusteiner Gy. ,  Meller Tamás ,  Pikler F. ,  Rónai Jenö ,  Semadam K. ,  Személyi K. ,  Vozáry P. ,  Wagner W. ,  Weiszfeld E. ,  Ökrös J. 
Füzet: 1934/március, 192 - 193. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Permutációk, Oszthatóság, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1934/január: 977. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Kiindulunk abból, hogy

(a1-1)+(a2-2)++(an-n)=(a1+a2++an)-(1+2++n)=0.

Ha a baloldalon álló különbségek abszolút értékeire térünk át, két eset lehetséges:
1. ai-i0 és ekkor |ai-i|-(ai-i)=0.

2. ak-k<0 és ekkor |ak-k|-(ak-k)=2|ak-k|,


tehát
r=1n|ar-r|-r=1n(ar-r)=2M.
Minthogy r=1n(ar-r)=0,következik:r=1n|ar-r|=2M.
 

Kaufmann István és Rónai Jenő (Dugonics András g. VIII. o. Szeged.)
 

II. Megoldás. A különbségeknél négy eset lehet:

a)|páros-páros|m  páros  szám;  ilyen  legyeni.b)|páros-páratlan|páratlan;szám;  ilyen  legyenj.c)|páratlan-páros|''m''m;''''kd)|páratlan-páratlan|mpáros  szám;''''l   

 

A különbségekben szereplő kisebbítendők ugyanazon számok összességét adják, mint a kivonandók, tehát*
i+j=i+késk+l=j+l.
Innen j=k, úgy hogy j+k=2j=2k, azaz páros szám; ezért a b) és c) alatti különbségek összege is páros szám.
 

Meller Tamás (Áll. Révai Miklós r. VI. o. Győr.)

*Az a) és b) különbségekben a kisebbítendők sorozata megegyezik az a) és c) kivonandóinak sorozatával; a c) és d)-ben a kisebbítendők ugyanazok, mini a b) és d)-ben a kivonandók.