Kezdőlap


Feladat:	958. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Asztalos E. , Bálint J. , Buresch R. , Deutsch E. , Erőd J. , Faragó J. , Gribács L. , Holló Ágnes , Jász L. , Kaufmann I. , Kiss T. , Lengyel G. , Pikler F. , Pohlencz A. , Pulay M. , Rónai J. , Scheffer K. , Schmidt J. , Spitz M. , Szele T. , Személyi Kálmán , Vankó R. , Vass T. , Wagner W. , Weiszfeld E.
Füzet:	1934/január, 135 - 136. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték differenciálszámítással, Függvények folytonossága, Tengely körüli forgatás, Ellipszis egyenlete, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1933/november: 958. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Ha az

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \end{matrix}

ellipszist (

a > b

) nagytengelye körül forgatjuk, akkor az ellipszoid térfogata

\frac{4 π a b^{2}}{3}

, a gömbé pedig

\frac{4 π b^{3}}{3}

, ahol

b

változó mennyiséget jelent. Az ellipszoid és gömb közé eső térfogat a

b

függvénye:

\begin{matrix} V = \frac{4 π}{3} (a b^{2} - b^{3}) = \frac{4 π}{3} b^{2} (a - b), \end{matrix}

ahol

0 \leq b \leq a

b = 0

esetében

V = 0

és

b = a

mellett szintén

V = 0

. A szóban forgó intervallumban

V > 0

és

b

-nek folytonos függvénye. Kell tehát valahol legalább egy maximumának lennie. Nézzük tehát

V

differenciálhányadosát:

\begin{matrix} V' = \frac{4 π}{3} (2 a b - 3 b^{2}) = \frac{4 π b}{3} (2 a - 3 b) . \end{matrix}

V' = 0

b = 0

és

b = \frac{2 a}{3}

helyen. Ha

b < \frac{2 a}{3}

, akkor

V' > 0

, ha

b > \frac{2 a}{3}

, akkor

V' < 0

, tehát a

b = \frac{2 a}{3}

helyen

V

-nek maximuma van, még pedig

\begin{matrix} V_{max} = \frac{16 π a^{3}}{81} . \end{matrix}

Az ellipszoid köbtartalma b = \frac{2 a}{3} mellett: V_{e} = \frac{16 π a^{3}}{27}

A gömb köbtartalma,,,, : V_{g} = \frac{32 π a^{3}}{81}

\begin{matrix} V_{max} : V_{g} : V_{e} = 1 : 2 : 3. \end{matrix}

2^{\circ}

. Ha az ellipszist a kis tengelye körül forgatjuk, az ellipszoid térfogata

\frac{4 π a^{2} b}{3}

. Az ellipszoid és a

b

sugarú gömb közé eső térfogat:

\begin{matrix} V = \frac{4 π}{3} (a^{2} b - b^{3}) = \frac{4 π b}{3} (a^{2} - b^{2}) . \end{matrix}

Vizsgáljuk ennek változását a

0 \leq b \leq a

intervallumban.

b = 0

és

b = a

határhelyeken

V = 0

; a szóban forgó intervallumban

V > 0

és

b

-nek folytonos függvénye. Tehát van legalább egy maximuma a vizsgált közben.

V

differenciálhányadosa

\begin{matrix} V' = \frac{4 π}{3} (a^{2} - 3 b^{2}) = 0 \end{matrix}

0 < b < a

intervallumban, ha

b = \frac{a \sqrt[]{3}}{3}

; minthogy

V' > 0

, ha

b < \frac{a \sqrt[]{3}}{3}

és

V' < 0

, ha

b > \frac{a \sqrt[]{3}}{3}

V

-nek maximuma van a

b = \frac{a \sqrt[]{3}}{3}

helyen, mégpedig

\begin{matrix} V_{max} = \frac{8 \sqrt[]{3} π a^{3}}{27} . \end{matrix}

Az ellipszoid köbtartalma

b = \frac{a \sqrt[]{3}}{3}

mellett:

V_{e} = \frac{4 \sqrt[]{3} π a^{3}}{9}

.
A gömb ,, ,, ,, :

V_{g} = \frac{4 \sqrt[]{3} π a^{3}}{27}

.

Most tehát

V_{g} : V_{max} : V_{e} = 1 : 2 : 3

Személyi Kálmán (Bencés rg. VII. o. Bp.)