Feladat: 947. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Asztalos E. ,  Buresch R. ,  Csanádi Gy. ,  Czégé I. ,  Deutsch E. ,  Eröd János ,  Faltusz E. ,  Faragó P. ,  Gribács L. ,  Holló Ágnes ,  Janits I. ,  Jász Lajos ,  Kiss T. ,  Ottinger Gy. ,  Porges A. ,  Pulay M. ,  Rott M. ,  Spitz M. ,  Vankó R. ,  Verebély L. 
Füzet: 1933/december, 103 - 104. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenesek egyenlete, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1933/október: 947. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Válasszuk a derékszög szárait koordináta tengelyeknek; a jelentse az X-tengelyről, b az Y-tengelyről lemetszett darabot (az origótól számítva). Így az egyenes egyenlete

xa+yb=1.(1)
a és b változó értékei között azonban az
1a+1b=1c(2)
összefüggés áll fenn, ahol c megadott érték. Egybevetve az (1) és (2) egyenleteket, azt látjuk, hogy x=c, y=c az (1) egyenes egyenletét az a és b mindazon értékeinél, melyek a (2)-nek megfelelnek, kielégítik, tehát az (1) egyenesek mindegyike az (x=c, y=c) ponton megy keresztül.
 

Holló Ágnes (Veres Pálné leányg. VIII. Bp. IV.)
 

II. Megoldás. (2)-ből
1b=1c-1a.
Helyettesítve ezt (1)-be:
xa+y(1c-1a)=1vagyx-ya+yc-1=0.(3)

A (3) egyenes az a minden értékénél keresztülmegy azon ponton, melynek koordinátái kielégítik az
x-y=0,yc-1=0
egyenletrendszert. Nyilván: x=y=c.
 

NB. A (3) egyenlet felfogható egy sugársor egyenletének, melynek tartója az
x-y=0ésy=c
egyenesek közös pontja.
 

Jász Lajos (Faludi Ferenc rg. VII. o. Szombatbely)
 

III. Megoldás. Ha egy háromszög oldalai a és b, az általuk bezárt szög γ, a γ szög felezőjének hossza v, akkor *
1vcosγ2=12(1a+1b).
Feltevésünk szerint 1a+1b=1c;γ=90∘, tehát cosγ2=22 és így
1v⋅22=12césv=c2.

Eszerint a szóban forgó derékszögű háromszögekben a derékszög felezője állandó hosszúságú: mindegyiknek átfogója ennek végpontján megy keresztül.
 

Erőd János (Koháry István rg. VIII. o. Gyöngyös)
 

Jegyzet. Ezen bizonyítás értelmében, minthogy a és b háromszög oldalai, csak a>0 és b>0 esetben lenne igaz a tétel; hozzátehetjük, hogy, mivel a feladatunkban szereplő a és b előjeles mennyiségek, a bizonyítás érvénye kiterjeszthető az egyenlő előjelű a és b értékekre.
Ha azonban a és b ellenkező előjelűek, akkor tételünk bizonyítására kiegészítőleg a külső szögfelezőre vonatkozó megállapítást kell felhasználnunk; ha u. i. a külső szögfelező hossza u, akkor
1ucosγ2=±12(1a-1b).
*L. KÜRSCHÁK: Mat. Versenytételek 82. o.