Feladat: 935. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Asztalos E. ,  Balog P. ,  Baneth L. ,  Boros A. ,  Buresch R. ,  Csanádi Gy. ,  Czégé I. ,  Deutsch E. ,  Erőd J. ,  Fenyő I. ,  Füves I. ,  Gribács L. ,  Herbst D. ,  Holló Ágnes ,  Hümpfner Olga ,  Jász L. ,  Kaiser F. ,  Kelen E. ,  Kovács P. ,  Lóczy B. ,  Moravetz Z. ,  Németh J. ,  Paál S. ,  Pantó G. ,  Péczely J. ,  Pick Gy. ,  Pohlencz A. ,  Pulay M. ,  Rézler Márta ,  Scheffer K. ,  Schmidt J. ,  Schwarz K. ,  Siegler I. ,  Singer I. ,  Somló L. ,  Spitz M. ,  Taskó L. ,  Tóth B. ,  Túri P. ,  Valatin J. ,  Vankó R. ,  Varga Z. ,  Verebély L. ,  Wagner W. ,  Weiszfeld E. ,  Ürge A. ,  Zsigmond A. 
Füzet: 1933/november, 71 - 72. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Egyenesek egyenlete, Trapézok, Négyszögek középvonalai, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1933/szeptember: 935. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Az egyenesek egyenletét írjuk

bx+ay-ab=0,(1)b'x+a'y-a'b'=0,(2)(b+b')x+(a+a')y-(a+a')(b+b')2=0(3)


alakban. Az (1) és (2) egyenesek párhuzamosak, ha
ba=b'a'.

Ha azonban ezen feltétel ki van elégítve, akkor egyszersmind
b+b'a+a'=ba=b'a',
tehát a (3) is párhuzamos a másik kettővel.
Ha az (1) egyenes a koordináta tengelyeket A ill. B, a (2) pedig A' ill. B' pontban metszi, akkor a (3) az AA' ill. BB' távolság felező pontjain megy keresztül. (Ezek koordinátái:a+a'2,0ill.0,b+b'2). Ha AB||A'B', akkor az A, B, A', B' pontok egy trapéz csúcsai, melynek középvonala a (3) egyenes; ez pedig párhuzamos a trapéz párhuzamos oldalaival.
2. Abból, amit az egyenesek helyzetéről elmondtunk, következik, hogy a (3) egyenes általában nem mehet keresztül az (1) és (2) egyenesek metszéspontján.
Az (1) és (2) egyenesek metszéspontjának koordinátái kielégítik az (1) és (2) egyenleteket, tehát az összeadással keletkező
(b+b')x+(a+a')y-(ab+a'b')=0
egyenletet is. Egybevetve ezt (3)-mal, nyilvánvaló, hogy az (1) és (2) metszéspontjának koordinátái akkor és csak akkor elégíthetik ki a (3) egyenletet, ha
(a+a')(b+b')2=ab+a'b'azazab+a'b+ab'+a'b'=2ab+2a'b',
vagyis ha
ab-ab'+a'b'=a(b-b')-a'(b-b')=(a-a')(b-b')=0.

Eszerint a szóban forgó 3 egyenes egy ponton megy keresztül, ha
a-a'=0vagyb-b'=0,
más szóval: vagy az A és A' pontok esnek össze (az X tengelyen) vagy a B és B' pontok (az Y tengelyen). Ekkor a (3) vagy az AA' vagy a BB' ponton megy keresztül.
Ha a-a'=0 és b-b'=0, akkor a 3 egyenes összeesik.
 

Holló Ágnes (Veres Pálné leányg. VIII. o. Bp.).