Kezdőlap


Feladat:	931. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Asztalos E. , Bálint J. , Baneth L. , Bartos Gy. , Buresch R. , Csanádi Gy. , Czégé I. , Deutsch E. , Ebergényi B. , Erőd J. , Fejér I. , Gribács L. , Gyopár L. , Holló Á. , Hümpfner O. , Jász L. , Kaiser F. , Kaufmann I. , Kiss T. , Könyves K. rg. VII. o. , Lukács O. , Ottinger György , Péczely J. , Perneczky Tivadar , Pick Gy. , Pikler F. , Pintér Gy. , Pulay M. , Rónai J. , Róth Sára , Rott M. , Sándor M. , Schwertner M. , Semadam K. , Spitz M. , Szabados Gyula , Taskó Gy. , Túri P. , Vankó R. , Varga Z. , Verebély L. , Wagner W. , Weiszfeld E.
Füzet:	1933/november, 67 - 68. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Szélsőérték differenciálszámítással, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1933/szeptember: 931. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. A tétel igaz, ha

\begin{matrix} \frac{x^{4} - 1}{4} - \frac{x^{3} - 1}{3} ≧ 0, vagy 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1 ≧ 0. \end{matrix}

Azonban a 828. gyakorlatban kimutattuk (1. ezen számban), hogy

\begin{matrix} 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1 = {(x - 1)}^{2} (3 x^{2} + 2 x + 1) . \end{matrix}

3 x^{2} + 2 x + 1

oly másodfokú függvénye

x

-nek, melynek discriminánsa:

4 - 12 < 0,

tehát ezen függvény értéke

x

minden valós értékénél

x^{2}

együtthatójával megegyező előjelű, vagyis mindig igaz:

\begin{matrix} 3 x^{2} + 2 x + 1 > 0. \end{matrix}

Másrészt

{(x - 1)}^{2} ≧ 0;

az egyenlőség csak

x = 1

mellett állhat elő. Eszerint valóban

\begin{matrix} 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1 = {(x - 1)}^{2} (3 x^{2} + 2 x + 1) ≧ 0 \end{matrix}

és

\begin{matrix} \frac{x^{3} - 1}{3} ≦ \frac{x^{4} - 1}{4} . \end{matrix}

Ottinger György (Érseki rg. VII. o. Bp.).

II. Megoldás. Vizsgáljuk az

\begin{matrix} y = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1 \end{matrix}

függvény változását. Differenciálhányadosa

\begin{matrix} y' = 12 x^{3} - 12 x^{2} = 12 x^{2} (x - 1) . \end{matrix}

y' = 0

x = 0

és

x = 1

helyeken. Azonban az

x = 0

helyen,

y'

előjele nem változik, tehát itt nem lehet a függvénynek szélsőértéke. Az

x = 1

helyen

y'

negatív értékekből megy át pozitív értékekbe, tehát itt a függvénynek minimuma van és ennek értéke zérus. Általában: ha

x < 1,

y' < 0

és ha

x > 1,

y' > 0.

Eszerint

y

értéke

+ \infty

-től csökken zérusig és azután növekedik

+ \infty

-ig. Így igazoltuk, hogy

\begin{matrix} 3 x^{4} - 4 x^{3} 4 + l ≧ 0. \end{matrix}

Az egyenlőségi jel csak

x = 1

esetben áll elő.

Perneczky Tivadar és Szabados Gyula (Bencés g. VIII. o. Esztergom.).