Feladat: 926. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Buresch R. ,  Deutsch Ervin ,  Erőd J. ,  Makai Endre ,  Manner L. ,  Weiszfeld Endre 
Füzet: 1933/október, 48 - 50. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Köréírt alakzatok, Négyzetek, Diszkusszió, Négyszögek szerkesztése, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1933/május: 926. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Legyen ABCD a megadott négyszög és tegyük fel, hogy feladatunkat megoldottuk az EFGH négyzettel. A négyzet E csúcsa az AB, a G csúcs a CD átmérőjű körön van.

 
 

Az EG átló felezi a négyzet E^ és G^ derékszögeit, tehát keresztülmegy az AMB ív M ill. a CND ív N felezőpontján.
Ha tehát az így definiált M és N pontokon át egyenest húzunk, ez meghatározza a négyzet E és G csúcsait, amelyekkel már a négyzet megszerkeszthető.
 

Weiszfeld Endre (Kemény Zsigmond r. VII. o. Bp. VI.)

Makai Endre (Kegyesrendi g. VIII. o. Bp.)
 

Kiegészítés. Az ABCD négyszög köré írt négyzeten általában olyan idomot érthetünk, amelynek oldalait tartó egyenesek a négyszög A, B, C, D csúcsain mennek keresztül. Ilyen értelemben a feladatnak 6 megoldása van.
 
 

Ugyanis az AB átmérőjű körnek az AB átmérő által meghatározott félrészeinek felezőpontjai legyenek M és M', a CD átmérő kör félrészeinek pedig N és N'. Már most az
MN,M'N',MN',M'N
egyenesek meghatározzák (a megoldásban leírt módon) oly négyzetek
PQ,P'Q',RS,R'S'
átlóit, melyeknek oldalait tartó egyenesek az A, B, C, D pontokon mennek keresztül. Ezen négyzetek közül az első kettőnek párhuzamos oldalpárjai az A-n és C-n, ill. B-n és D-n mennek keresztül (az ABCD négyszög szemben fekvő csúcsain). A másik kettő párhuzamos oldalai az A-n és D-n, B-n és C-n mennek keresztül.
Végül két oly négyzet is létezik, melynek párhuzamos oldalai az A-n és B-n, ill. a C-n és D-n mennek keresztül, ezeket akkor kapjuk meg, ha az AD és BC, mint átmérő fölé írt körök félrészeinek az M, N' ill. M', N pontoknak megfelelő helyzetű felezőpontjait kötjük össze. (A PQ ill. P' Q' átlóval bíró négyzetek itt újra jelentkeznek; ugyanis ezen átlókhoz tartozó négyzetek másik átlójának végpontjai az AD ill. BC átmérőjű körön feküsznek, míg az RS és R'S' átlókhoz tartozó négyzetek másik átlójának végpontjai a BD ill. AC átmérőjű körön feküsznek).
 

Jegyzet: Ha az ABCD négyszög átlói egyenlők és merőlegesek egymásra, akkor végtelen sok négyzet írható köréje. (Húzzunk A és C pontokon át tetszőleges irányban párhuzamosakat, ezekre a B és D pontokon át merőlegeseket: négyzetet kapunk).
Ebben az esetben az AB, BC, CD, DA oldalak mint átmérők fölött szerkesztett körök egy ponton mennek keresztül t. i. AC és BD átlók metszéspontján. Ezen pont az ABCD köré írt négyzetek hasonlósági centruma.
 

II. Megoldás. A B pontból állítsunk az AC-re merőlegest és legyen BL=AC; ekkor a DL egyenes a négyzet egyik oldalának tartója lesz.
 
 

Így a négyzet megszerkeszthető: B ponton át DL-el párhuzamost és ezekre az A és C pontokon át merőleges egyeneseket állítunk.
 

Deutsch Ervin (Faludi Ferenc rg. VII. o. Szombathely)
 

Kiegészítés. A B pontból AC-re állított merőlegesen két irányban mérhetjük fel a BL=AC vonaldarabot (B-ből kiindulva). Így négyzetet kapunk, melynek párhuzamos oldalai az ADCD négyszög szemben fekvő csúcsain mennek keresztül.
Ha a B pontból az AD-re, majd a CD-re állítunk merőlegest és úgy járunk el, mint az első esetben, még 2×2 négyzetet kapunk; ezeknek párhuzamos oldalai az ABCD négyszög két-két szomszédos csúcsán mennek keresztül. (L. I. megoldásban is).