Feladat: 922. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Buresch R. ,  Deutsch E. ,  Erőd J. ,  Geba I. ,  Kelen E. ,  Kiss Tivadar ,  Makai E. ,  Manner L. ,  Réffy K. ,  Scheffer K. ,  Schmidt J. ,  Szele T. ,  Vankó R. ,  Weiszfeld E. 
Füzet: 1933/október, 44 - 45. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Függvények folytonossága, Egyenes körhengerek, Ellipszis egyenlete, Egyenes körkúpok, Térfogat, Síkgeometriai szerkesztések, Szerkesztések a térben, Térgeometria alapjai, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1933/május: 922. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. 1. Ha az ellipszoid forgási tengelye az ellipszis nagytengelye, tehát a koordinátarendszer abscissa tengelye, az ellipszoidba írt egyenes körhenger alapjának sugara az ellipszis valamely, az első negyedben (x>0,y>0) felvett P pont ordinátája, magassága pedig a P pont kétszeres abscissája. Tehát a henger köbtartalma:

Vh=2y2πx=2b2a2π(a2-x2)x,
ha t. i. az ellipszis egyenletéből y2-ét kifejeztük és helyettesítettük; feltevésünk szerint x változik 0-tól a-ig.
Vh=0, ha x=0 és ha x=a; közben Vh>0. Minthogy Vh az x folytonos függvénye, kell a 0-a intervallumban egy helynek lennie, ahol Vh maximum; ez ott áll elő, ahol
ddx(a2x-x3)=a2-3x2=0,azazx=a33.

x ezen értéke mellett a henger térfogatának maximuma:
Vh,m=4ab2π39.

2. A ellipszoidba írt kúp alapjának sugara ugyancsak a fenti y, magassága azonban a+x, ahol x változhatik -a-tól +a-ig. A kúp köbtartalma:
Vk=2y2π(a+x)=2b2a2π(a2-x)(a+x)
Vk=0, ha x=-a 1 és ha x=+a. A -a,+a intervallumban Vk>0.
Minthogy Vk az x folytonos függvénye, kell ezen közben egy maximumának lennie, még pedig ott, ahol
ddx[(a2-x2)(a+x)]=ddx(a3+a2x-ax2-x3)=a2-2ax-3x2=0.

Ezen egyenlet gyökei: x1=-a1 és x2=a3.
Közülük csak x2=a3 jöhet tekintetbe. x ezen értékével
Vk,m=32ab2π81.

3. Az abscissa tengely körüli forgással keletkező ellipszoid köbtartalma:
Ve=20ay2πdx=2πb2a20a(a2-x2)dx=2πb2a2[a2x-x33]0a=4πab23.

Az 1., 2., 3. eredményeinek tekintetbevételével:
Ve:Vh,m:Vk,m=43:439:3281=-1:33:827=27:93:8=33:(3)3:23.



II. Ha az ellipszist az Y-tengely (kis tengelye) körül forgatjuk, az előbb megállapított eredmények érvényesek maradnak, ha x helyébe y-t, a helyébe b-t és b helyébe a-t írunk. Azaz most
V'h,m=4a2bπ39;V'k,m=32a2bπ81;V'e=4πa2b3.
Tehát
V'e:V'h,m:V'k,m=33:(3)3:23.

Kiss Tivadar (Bencés g. VII. o. Esztergom)

1x=-a az (a2-x2)(a+x)=(a+x)2(a-x)=0 egyenletnek kétszeres gyöke! Ezért (a+x)2(a-x) differenciálhányadosa is zérus az x=-a helyen.