Kezdőlap


Feladat:	922. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Buresch R. , Deutsch E. , Erőd J. , Geba I. , Kelen E. , Kiss Tivadar , Makai E. , Manner L. , Réffy K. , Scheffer K. , Schmidt J. , Szele T. , Vankó R. , Weiszfeld E.
Füzet:	1933/október, 44 - 45. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvények folytonossága, Egyenes körhengerek, Ellipszis egyenlete, Egyenes körkúpok, Térfogat, Síkgeometriai szerkesztések, Szerkesztések a térben, Térgeometria alapjai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1933/május: 922. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. $1^{\circ}$ . Ha az ellipszoid forgási tengelye az ellipszis nagytengelye, tehát a koordinátarendszer abscissa tengelye, az ellipszoidba írt egyenes körhenger alapjának sugara az ellipszis valamely, az első negyedben $(x > 0, y > 0)$ felvett $P$ pont ordinátája, magassága pedig a $P$ pont kétszeres abscissája. Tehát a henger köbtartalma:

\begin{matrix} V_{h} = 2 y^{2} π x = \frac{2 b^{2}}{a^{2}} π (a^{2} - x^{2}) x, \end{matrix}

ha t. i. az ellipszis egyenletéből

y^{2}

-ét kifejeztük és helyettesítettük; feltevésünk szerint

x

változik 0-tól

a

-ig.

V_{h} = 0

, ha

x = 0

és ha

x = a

; közben

V_{h} > 0

. Minthogy

V_{h}

x

folytonos függvénye, kell a

0 - a

intervallumban egy helynek lennie, ahol

V_{h}

maximum; ez ott áll elő, ahol

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (a^{2} x - x^{3}) = a^{2} - 3 x^{2} = 0, azaz x = \frac{a \sqrt[]{3}}{3} . \end{matrix}

x

ezen értéke mellett a henger térfogatának maximuma:

\begin{matrix} V_{h, m} = \frac{4 a b^{2} π \sqrt[]{3}}{9} . \end{matrix}

2^{\circ}

. A ellipszoidba írt kúp alapjának sugara ugyancsak a fenti

y

, magassága azonban

a + x

, ahol

x

változhatik

- a

-tól

+ a

-ig. A kúp köbtartalma:

\begin{matrix} V_{k} = 2 y^{2} π (a + x) = \frac{2 b^{2}}{a^{2}} π (a^{2} - x) (a + x) \end{matrix}

V_{k} = 0

, ha

x = - a

¹ és ha

x = + a

. A

- a, + a

intervallumban

V_{k} > 0

.
Minthogy

V_{k}

x

folytonos függvénye, kell ezen közben egy maximumának lennie, még pedig ott, ahol

\begin{matrix} \frac{d}{d x} [(a^{2} - x^{2}) (a + x)] = \frac{d}{d x} (a^{3} + a^{2} x - a x^{2} - x^{3}) = a^{2} - 2 a x - 3 x^{2} = 0. \end{matrix}

Ezen egyenlet gyökei:

x_{1} = - a^{1}

és

x_{2} = \frac{a}{3}

.
Közülük csak

x_{2} = \frac{a}{3}

jöhet tekintetbe.

x

ezen értékével

\begin{matrix} V_{k, m} = \frac{32 a b^{2} π}{81} . \end{matrix}

3^{\circ}

. Az abscissa tengely körüli forgással keletkező ellipszoid köbtartalma:

\begin{matrix} V_{e} = 2 \int_{0}^{a} y^{2} π d x = 2 π \frac{b^{2}}{a^{2}} \int_{0}^{a} (a^{2} - x^{2}) d x = 2 π \frac{b^{2}}{a^{2}} {[a^{2} x - \frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{a} = \frac{4 π a b^{2}}{3} . \end{matrix}

1^{\circ}

2^{\circ}

3^{\circ}

. eredményeinek tekintetbevételével:

\begin{matrix} V_{e} : V_{h, m} : V_{k, m} = \frac{4}{3} : \frac{4 \sqrt[]{3}}{9} : \frac{32}{81} = - 1 : \frac{\sqrt[]{3}}{3} : \frac{8}{27} = 27 : 9 \sqrt[]{3} : 8 = 3^{3} : {(\sqrt[]{3})}^{3} : 2^{3} . \end{matrix}

II. Ha az ellipszist az

Y

-tengely (kis tengelye) körül forgatjuk, az előbb megállapított eredmények érvényesek maradnak, ha

x

helyébe

y

-t,

a

helyébe

b

-t és

b

helyébe

a

-t írunk. Azaz most

\begin{matrix} V'_{h, m} = \frac{4 a^{2} b π \sqrt[]{3}}{9}; \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} V'_{e} : V'_{h, m} : V'_{k, m} = 3^{3} : {(\sqrt[]{3})}^{3} : 2^{3} . \end{matrix}

Kiss Tivadar (Bencés g. VII. o. Esztergom)

x = - a

(a^{2} - x^{2}) (a + x) = {(a + x)}^{2} (a - x) = 0

egyenletnek kétszeres gyöke! Ezért

{(a + x)}^{2} (a - x)

differenciálhányadosa is zérus az

x = - a

helyen.