|
Feladat: |
922. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Buresch R. , Deutsch E. , Erőd J. , Geba I. , Kelen E. , Kiss Tivadar , Makai E. , Manner L. , Réffy K. , Scheffer K. , Schmidt J. , Szele T. , Vankó R. , Weiszfeld E. |
Füzet: |
1933/október,
44 - 45. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Függvények folytonossága, Egyenes körhengerek, Ellipszis egyenlete, Egyenes körkúpok, Térfogat, Síkgeometriai szerkesztések, Szerkesztések a térben, Térgeometria alapjai, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1933/május: 922. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. . Ha az ellipszoid forgási tengelye az ellipszis nagytengelye, tehát a koordinátarendszer abscissa tengelye, az ellipszoidba írt egyenes körhenger alapjának sugara az ellipszis valamely, az első negyedben felvett pont ordinátája, magassága pedig a pont kétszeres abscissája. Tehát a henger köbtartalma: ha t. i. az ellipszis egyenletéből -ét kifejeztük és helyettesítettük; feltevésünk szerint változik 0-tól -ig. , ha és ha ; közben . Minthogy az folytonos függvénye, kell a intervallumban egy helynek lennie, ahol maximum; ez ott áll elő, ahol | |
ezen értéke mellett a henger térfogatának maximuma: . A ellipszoidba írt kúp alapjának sugara ugyancsak a fenti , magassága azonban , ahol változhatik -tól -ig. A kúp köbtartalma: | | , ha és ha . A intervallumban . Minthogy az folytonos függvénye, kell ezen közben egy maximumának lennie, még pedig ott, ahol | |
Ezen egyenlet gyökei: és . Közülük csak jöhet tekintetbe. ezen értékével . Az abscissa tengely körüli forgással keletkező ellipszoid köbtartalma: | |
Az ., ., . eredményeinek tekintetbevételével:
II. Ha az ellipszist az -tengely (kis tengelye) körül forgatjuk, az előbb megállapított eredmények érvényesek maradnak, ha helyébe -t, helyébe -t és helyébe -t írunk. Azaz most | | Tehát | |
Kiss Tivadar (Bencés g. VII. o. Esztergom) | az egyenletnek kétszeres gyöke! Ezért differenciálhányadosa is zérus az helyen. |
|