Feladat: 921. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Buresch R. ,  Csanádi Gy. ,  Erőd J. ,  Geba I. ,  Jász Lajos ,  Kepes J. ,  Kiss T. ,  Lukács O. ,  Makai E. ,  Manner L. ,  Rott M. ,  Stolcz T. ,  Weiszfeld Endre 
Füzet: 1933/október, 43 - 44. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1933/május: 921. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Az adott k kör C középpontjából az adott egyenesre bocsátott egyenest válasszuk a koordinátarendszer abscissa-, az adott egyenest ordináta-tengelyéül. A C pontnak a koordináta rendszer O középpontjától való távolsága legyen a, a kör sugara r.

 
 

Az ordináta-tengely változó ω pontjából (0,q) a k körhöz vont egyik érintő érintési pontja legyen A; ekkor az ω A sugarú, ω középpontú k' kör egyenlete
x2+(y-q)2=ωA¯2.(1)
Azonban:
ωA¯2=ωC¯2-AC¯2=q2+a2-r2,
tehát helyettesítve ezt (1)-ben, a k' kör egyenlete:
x2+y2-2yq=a2-r2.

Ezen kör az abscissa-tengelyt oly pontokban metszi, amelyekre nézve y=0; tehát a metszéspontokra nézve
x2=a2-r2ésx=±a2-r2.

Ezen eredmény azt mutatja, hogy a k' kör az X-tengelyt mindenkor ugyanazon két pontban metszi; ezen pontok a szilárd P és P' pontok, mert a és r megadott állandók.
Ha a=r, azaz a k érinti az adott egyenest, akkor x1=x2=0.
Ha a<r, azaz az adott egyenes metszi a k kört, akkor ilyen pontok (valós pontok) nincsenek.
 

Jász Lajos (Faludi Ferenc r. VI. o. Szombathely)
 

Jeyyzet. a2-r2 az O pontnak a k körre vonatkozó hatványa; ha OM a kör érintője, OM¯2=a2-r2, tehát OP=OP'=OM.
 

II. Megoldás. A k' körökhöz a C pontból húzott érintők egyenlők (t. i. a k kör sugarával), tehát a k' köröknek közös hatványvonaluk van, mely a C ponton megy keresztül és merőleges a k' körök centrálisára, azaz az adott egyenesre. Ha e körök metszik ezen hatványvonalat, ennek két szilárd pontján mennek keresztül. Ez bekövetkezik akkor, ha az adott egyenes nem metszi a kört; ekkor ugyanis ‐ hogy az I. megoldás jeleit használjuk ‐ ωAωO; az egyenlőségi jel akkor áll elő, ha a k kör érinti az adott egyenest. Ha azonban az adott egyenes metszi a k kört, akkor ωA<ωO, tehát k' nem metszheti az A egyenest, mely C-ből az adott egyenesre merőlegesen húzható (valamint k' kör közös hatványvonalát).
 

Weiszfeld Endre (Kemény Zsigmond r. VII. o. Bp.)