Kezdőlap


Feladat:	920. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Buresch R. , Erőd J. , Geba I. , Gribács L. , Jász L. , Kelen E. , Kepes J. , Kiss T. , Lukács O. , Makai E. , Manner L. , Réffy K. , Scheffer K. , Schmidt J. , Stolcz T. , Taskó György , Weiszfeld E.
Füzet:	1933/október, 42 - 43. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Inverz függvények, Merőleges affinitás, Egyenesek egyenlete, Ellipszis egyenlete, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1933/május: 920. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Az ellipszis $P_{1}$ és $P_{2}$ pontjain áthaladó húr az ellipszisből oly szeletet vág le, melynek területe ‐ a IX. évf. 244. oldalán található megállapítás szerint ‐

\begin{matrix} t = \frac{a b}{2} (π - arc sin \frac{x_{1}}{a} - arc sin \frac{x_{2}}{a}) - O P_{1} P_{2} ▵, \end{matrix}

ahol

x_{1}

ill.

x_{2}

P_{1}

ill.

P_{2}

abscissája,

O

az ellipszis középpontja.
Az adott esetben

x_{1} = x_{2} = \frac{a}{2}

; tehát

\begin{matrix} arc sin \frac{x_{1}}{a} = arc sin \frac{x_{2}}{a} = arc sin \frac{1}{2} = \frac{π}{6} . \end{matrix}

O P_{1} P_{2} ▵

területe pedig :

\frac{a}{2} y_{1}

, ha t. i.

y_{1}

P_{1}

ordinátája. Az ellipszis egyenletéből:

\begin{matrix} y_{1} = \frac{b}{a} \sqrt[]{a^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = b \frac{\sqrt[]{3}}{2} . \end{matrix}

O P_{1} P_{2} ▵

területe eszerint

\frac{a b \sqrt[]{3}}{4}

. Most már

\begin{matrix} t = \frac{a b}{2} (π - 2 \cdot \frac{π}{6}) - \frac{a b \sqrt[]{3}}{4} = a b (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt[]{3}}{4}) . \end{matrix}

Taskó György (Szent László rg. VII. o. Bp. X.)

II. Megoldás. Ha az

a

sugarú körben a középponttól

\frac{a}{2}

távolságban húrt szerkesztünk, ennek hossza

a \sqrt[]{3}

és a hozzátartozó (kisebbik) ív

\frac{2 a π}{3}

. Ezen ív által határolt körcikk területe:

\frac{a^{2} π}{3}

.
Vonjuk ki ebből azon háromszög területét, melynek alapja

a \sqrt[]{3}

és magassága

\frac{a}{2}

, tehát

\frac{a^{2} \sqrt[]{3}}{4}

-et; megkapjuk a körszelet területét:

\begin{matrix} a^{2} (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt[]{3}}{4}) . \end{matrix}

Ha már most az

x^{2} + y^{2} = a^{2}

kör pontjaihoz tartozó ordinátákat

\frac{b}{a}

arányban csökkentjük, megkapjuk az ellipszist; a körszeletből a szóban forgó ellipszisszelet lesz, melynek területe:

\begin{matrix} \frac{b}{a} \cdot a^{2} (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt[]{3}}{4}) = a b (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt[]{3}}{4}) . \end{matrix}

Szerk.