Kezdőlap


Feladat:	916. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ambrus Á. , Buresch Róbert , Deutsch E. , Emődi M. , Erőd J. , Geba I. , Gribács L. , Imre G. , Kepes J. , Kiss T. , Makai E. , Manner L. , Nagy J. , Peuser G. , Pulay M. , Singer I. , Sohr Anna , Spitz M. , Steiner Z. , Stolcz T. , Weiszfeld E.
Füzet:	1933/szeptember, 17 - 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vetítések, Terület, felszín, Térfogat, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1933/április: 916. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Legyen $T$ a tetraéder azon oldallapjának területe, melynek vetülete az $a$ élre merőleges $Σ$ síkon egyszersmind a tetraéder vetülete. Ha ezen oldallap és a $Σ$ sík hajtásszöge $α$ , akkor

\begin{matrix} t = T cos α . \end{matrix}

Ezen esetben az

a

él hajlásszöge a

T

síkjához (

90^{\circ} - α

), tehát

\begin{matrix} V = \frac{T m}{3} = \frac{T a sin (90^{\circ} - α)}{3} = \frac{T cos α \cdot a}{3} = \frac{t a}{3} . \end{matrix}

Buresch Róbert (Széchenyi István rg. VII. o. Sopron.)

II. Megoldás. Legyen a

Σ

sík az

A B C D

tetraéder

A B = a

élére merőleges, a

B

felőli oldalon. A tetraéder vetülete a

Σ

síkon ugyanaz, mint a

B C D ▵

vetülete, t. i. az

E F G ▵

A tetraéder térfogata felfogható, mint

A C D E F G

és

B C D E F G

háromoldalú csonka hasábok térfogatának különbsége; utóbbiak mindegyikére nézve az

E F G ▵

normálmetszet. Minthogy a háromoldalú csonka hasáb térfogatát megkapjuk, ¹ ha normálmetszetének

t

felületét szorozzuk az erre merőleges élek számtani középarányosával, a tetraéder térfogata

\begin{matrix} V = \frac{t (A E + C F + D G)}{3} - \frac{t (B E + C F + D G)}{3} = \frac{t (A E - B E)}{3} = \frac{t \cdot A B}{3} = \frac{t \cdot a}{3} . \end{matrix}

¹L. pl. VIII. évf. 247. oldalon.