Feladat: 912. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Emődi M. ,  Erőd J. ,  Geba I. ,  Kepes J. ,  Kiss T. ,  Makai E. ,  Manner László ,  Peuser G. ,  Singer I. (VIII. o.) ,  Sohr Anna ,  Spitz M. B. ,  Stolcz T. ,  Túri P. ,  Weiszfeld E. 
Füzet: 1933/szeptember, 15 - 16. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Ellipszis egyenlete, Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1933/április: 912. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ellipszis egyenlete a főtengelyekre vonatkoztatva (a>b)

x2a2+y2b2=1.(1)

Az ellipszis M (x0, y0) pontjában húzott érintő egyenlete:
x0xa2+y0yb2=1.(2)

Ezen érintő az X-tengelyt az (y=0,x=a2x0), az Y-tengelyt az (x=0,y=b2y0) pontban metszi. Eszerint a P pont koordinátái
x=a2x0,y=b2y0.(3)

Meg kell állapítanunk, milyen összefüggés áll fenn P koordinátái között, ha (x0, y0) kielégítik az
x02a2+y02b2=1(4)
egyenletet? A (3) egyenletekből kifejezzük x0, y0 értekét és (4)-be helyettesítjük:
x0=a2x,y0=b2y,
tehát
a4a2x2+b4b2y2=1,
azaz
a2x2+b2y2=1.(5)

Ezen egyenlet y ill. x szerint megoldva
y=±bxx2-a2ésx=±ayy2-b2.

 

Innen azt olvashatjuk ki, hogy a P pont a sík oly részeiben helyezkedik el, amelyre nézve: |x|a és |y|b. Az x=±a és y=±b egyenesek (az ellipszis csúcspontjaihoz tartozó érintők) az (5) görbe aszimptotái. A görbének 4 ága van; kettő-kettő szimmetrikus az X-tengelyre, ill. az Y-tengelyre, ill. az origóra nézve.
 

Manner László (Kölcsey Ferenc rg. VIII. o. Bp. VI.)