Kezdőlap


Feladat:	900. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Asztalos E. , Balázs J. , Berbuch F. , Buresch R. , Csikós Nagy B. , Emődi M. , Erőd J. , Felter K. , Geba I. , Gribács L. , Hiros F. , Jász L. , Kálmán E. , Kiss T. , Lehel P. , Manner L. , Oesterreicher J. , Papp L. , Peuser G. , Pohlencz A. , Pulay M. , Réffy K. , Róth L. , Róth Sz. , Scheffer K. , Sohr Anna , Szabó I. , Tarnóczy T. , Wagner Gyula , Weiszfeld E.
Füzet:	1933/május, 263. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Tengely körüli forgatás, Egyenes körhengerek, Ellipszis egyenlete, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1933/március: 900. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Ha forgási tengelyül a

\begin{matrix} b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2} \end{matrix}

ellipszis (

a > b

) nagy tengelyét választjuk, a henger alapjának sugara

y

, magassága

2 x

(ahol

y > 0

és

x > 0

). A henger palástja

\begin{matrix} P = 2 y π \cdot 2 x = 4 π x y = 4 π x \cdot \frac{b}{a} \sqrt[]{a^{2} - x^{2}} = \frac{4 π b}{a} \sqrt[]{a^{2} x^{2} - x^{4}} . \end{matrix}

P

változásának vizsgálatára elegendő az

\begin{matrix} f (x) = - x^{4} + a^{2} x^{2} \end{matrix}

függvényt vizsgálni, ha

0 \leq x \leq a

f (x)

x^{2}

-re nézve másodfokú függvény, melynek maximuma van, ha

\begin{matrix} x^{2} = \frac{a^{2}}{2} vagyis x = \frac{a \sqrt[]{2}}{2} . Ekkor y = \frac{b \sqrt[]{2}}{2} \end{matrix}

f (0) = 0

és

f (a) = 0

. Eszerint

P

értéke zérustól növekedik egy maximumig és ismét csökken zérusig.

P_{max} = 2 a b π

2^{\circ}

. Ha forgástengelyül az ellipszis kis tengelyét választjuk, a palást értéke ‐

x

és

y

szerepcseréje mellett ‐ ugyanaz lesz, tehát ismét az

1^{0}

. alatti eredményekhez jutunk.

Wagner Gyula (Könyves Kálmán rg. VII. o. Újpest)