Feladat: 892. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balázs J. ,  Berbuch F. ,  Bihari I. ,  Bodnár Márta ,  Bodori I. ,  Burger L. ,  Csanády Gy. ,  Csikós Nagy B. ,  Deutsch E. ,  Döring A. ,  Emődi M. ,  Fejér I. ,  Felter K. ,  Geba I. ,  Hajdu Ágota ,  Hiros F. ,  Kálmán E. ,  Kepes J. ,  Kiss T. ,  Lehel P. ,  Lengváry Gy. ,  Makai E. ,  Manner L. ,  Mihály J. ,  Müller S. ,  Nagy D. ,  Perneczky T. ,  Peuser G. ,  Pikler F. ,  Pohlencz A. ,  Porges A. ,  Réffy K. ,  Reichard György ,  Repper J. ,  Róth E. ,  Singer I. (VI. o.) ,  Singer I. (VIII. o.) ,  Sohr Anna ,  Stolcz T. ,  Tarnóczy T. ,  Taskó Gy. ,  Tihanyi M. ,  Vankó R. ,  Wagner Gy. ,  Wagner W. 
Füzet: 1933/április, 227 - 228. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tengely körüli forgatás, Egyenes körhengerek, Egyenes körkúpok, Térfogat, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1933/február: 892. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szabályos hatszög csúcsai legyenek A1, A2, ... A6; a hatszög oldala legyen a.
1. Forgassuk a hatszöget A1A4 átló, mint tengely körül; a forgási test két egyenlő kúpból és egy hengerből áll. Ha A2 vetülete az A1A4-n A'2 és A3A'3, akkor a test térfogata:

V1=π3A2A'2¯2A1A'2¯+πA3A'3¯2A'2A'3¯+π3A3A'3¯A'3A4¯.
Azonban
A2A'2¯=A'3A3¯=asin60=a32,A1A'2¯=A'3A4¯=acos60=a2;A'2A'3¯=A2A3=a,

tehát
V1=π33a24a2+π3a24a+πa3a24a2=a3π.

2. Az A1A2 ill. A4A5 oldalak felezőpontja legyen M ill. N. Az MN tengely körüli forgatással keletkező test két egyenlő csonkakúpból tehető össze, tehát
V2=2MO¯π3(A3O¯2+A3O¯A2M¯+A2M¯2).
Ámde:
MO=asin60=a32;A3O=a;A2M=a2.
Így
V2=2π3a23(a2+aa2+a24)=7a3π312.

3. Ezek szerint
V1:V2=a3π:7a3π123=12:73=43:7.

Reichard György (Könyves Kálmán rg. VII. o. Újpest)