Feladat: 888. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baneth L. ,  Bihari I. ,  Bodori I. ,  Csató I. ,  Deutsch E. ,  Döme J. ,  Emődi M. ,  Erőd J. ,  Geba I. ,  Hegedűs Tibor ,  Kaiser F. ,  Kepes J. ,  Kiss T. ,  Lehr M. ,  Makai E. ,  Manner L. ,  Nagy D. ,  Pikler F. ,  Pulay M. ,  Réffy K. ,  Repper J. ,  Róth Sz. ,  Spitz M. ,  Szabó I. ,  Tarnóczy T. ,  Wagner W. 
Füzet: 1933/április, 223 - 224. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1933/február: 888. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Az y függvény differenciálhányadosa

y'=3sin2xcosx-3cos2xsinx=3sinxcosx(sinx-cosx).
y'=0, ha a) sinx=0b) cosx=0c) sinx-cosx=0 vagyis tgx=1.

a)sinx=0,hax=0,π,2π.b)cosx=0,hax=π2,3π2.c)tgx=1,hax=π4,5π4.

Megvizsgálva ezen helyeken y' előjelének változását és kiszámítva a megfelelő y értékeket, a köv. táblázatba foglalhatjuk:
 

x |0π4π2π5π43π22πy' |0-0+0-0+0-0+0y |1221-1-22-1+1
 

y=0, ha sin3x=-cos3x vagyis tg3x=-1, tehát tgx=-1 és
x=3π4,7π4.

 

2. A
sin3x+cos3x=sin3α+cos3α(1)
egyenlet megoldásai azon pontok abscissái, melyeknek ordinátái ugyanakkorák, mint az α abscissához tartozó M pont ordinátája. Ezeket megkapjuk, ha a függvény-görbét az X-tengellyel párhuzamos
y=sin3α+cos3α(2)
egyenessel szeljük.
α=0 esetben az y=1 egyenes érinti a görbét az x=0, π2, 2π pontokban.
0<α<π4 értékek mellett az M pont az AB íven van; a (2) egyenes négy pontban metszi a görbét; kettő közülük α és π2-α.
α=π4 esetben az egyenes egyenlete: y=22; ezen egyenes a B pontban (x=π4) érinti és még két pontban metszi a görbét.
 

Hegedüs Tibor (Szent István rg. VIII. o. Bp.)