Kezdőlap


Feladat:	875. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ambrus Á. , Baneth L. , Emődi M. , Erőd J. , Geba I. , Gribács L. , Kálmán E. , Kepes J. , Kurz F. , Lehr M. , Lukács O. , Makai Endre , Manner L. , Nagy D. , Nagy J. , Peuser G. , Róth Sz. , Taskó Gy. , Tóth Gy. , Weisz D. , Weisz L. , Weiszfeld E.
Füzet:	1933/március, 192 - 193. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elemi függvények differenciálhányadosai, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Hiperbola egyenlete, Kúpszeletek érintői, Hiperbola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1933/január: 875. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . $x y = λ$ oly egyenlőoldalú hiperbola egyenlete, melynek aszimptotái a koordináta-tengelyek. Ha $λ > 0$ , a hiperbola ágai az I. és III., ha $λ < 0$ , a II. és IV. síkrészben feküsznek. $λ = 0$ esetben a koordináta-tengelyekből álló egyenespárral van dolgunk.
Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy a szilárd $P (α, β)$ pont az I. síknegyedben fekszik.
Minthogy az $x y = λ$ görbének $(x_{0}, y_{0})$ pontjában húzott érintő irányhatározója, az $y = \frac{λ}{x}$ alapján $y' = {[- \frac{λ}{x^{2}}]}_{x = x_{0}}$ ,
ezen pontban húzott érintő egyenlete

\begin{matrix} y - y_{0} = - \frac{λ}{x_{0}^{2}} (x - x_{0}) vagy y - \frac{λ}{x_{0}} = - \frac{λ}{x_{0}^{2}} (x - x_{0}) . \end{matrix}

Ezen érintő keresztülmegy az

(α, β)

ponton, ha

\begin{matrix} β - \frac{λ}{x_{0}} = - \frac{λ}{x_{0}^{2}} (α - x_{0}) ill. β x_{0}^{2} - 2 λ x_{0} + λ α = 0. \end{matrix}

(1)

Ha tehát

(α, β)

adva van, akkor megfordítva: az (1) egyenlet alapján az

(α, β)

pontból húzható érintők érintési pontjainak

x_{0}

abscissáit számíthatjuk ki. Az (1) gyökei valósak, ha

\begin{matrix} 4 λ^{2} - 4 λ α β = 4 λ (λ - α β) \geq 0. \end{matrix}

(2)

λ < 0

, akkor (2) mindig ki van elégítve, mivel ‐ feltevésünk szerint ‐

α β > 0

. Más szóval: ha a hiperbola ágai a II. és IV. síknegyedben feküsznek, akkor az I. negyedben fekvő

P

pontból mindig húzhatunk érintőket; az érintési pontok abscissái ellenkező előjelűek, mivel szorzatuk:

\frac{λ α}{β} < 0

. (Az egyik érintő az egyik ághoz, a másik a másik ághoz húzható).
Ha

λ > 0

, akkor kell, hogy

α β \leq λ

legyen, azaz a

P

pontnak a hiperbolán kívül, a hiperbola ágai között kell feküdnie, határesetben az

x y = λ

hiperbolán. Azaz csak oly hiperbolákhoz lehet érintőket húzni a

P

pontból, amelyekre nézve

λ \geq α β

. Ebben az esetben az (1) mind a két gyöke pozitív; ^{$^{*}$} mindkét érintő a hiperbola I. síkrészben fekvő ágához húzható.

λ = 0

esetben

x_{0}^{2} = 0

; mind a két érintő az origón megy keresztül.

2^{\circ}

. Ha már most (1)-ből a

λ

-t kiküszöböljük,

λ = x_{0} y_{0}

alapján, akkor az érintési pontok koordinátái között nyerünk összefüggést:

\begin{matrix} β x_{0}^{2} - 2 x_{0}^{2} y_{0} + α x_{0} y_{0} = 0 vagy x_{0} (β x_{0} + α y_{0} - 2 x_{0} y_{0}) = 0. \end{matrix}

Az indexeket most már elhagyva,

\begin{matrix} x (β x + α y - 2 x y) = 0. \end{matrix}

x = 0

Y

-tengely egyenlete; az

Y

-tengely nem lehet része ez érintési pontok mértani helyének. Ennek egyenlete:

\begin{matrix} β x + α y - 2 x y = 0 ill. y = \frac{β x}{2 x - α} . \end{matrix}

Ez oly egyenlőoldalú hiperbola, melynek aszimptotái a koordináta tengelyekkel párhuzamos

\begin{matrix} x = \frac{α}{2}, y = \frac{β}{2} \end{matrix}

egyenesek és keresztülmegy a

(0, 0)

ponton. (Egyik ága az I. síknegyedben, másik ága a II. és IV. síknegyedben az origón át húzódva helyezkedik el.)
A hiperbola minden pontja a mértani helyhez tartozik, mert (1) szerint minden

x

értékhez tartozik egy

λ

érték.

Makai Endre (Kegyesrendi g. VIII. o. Bp.)

Jegyzet. Abban az esetben, midőn

λ = 0

, a

P

ponton átmenő és a koordinátatengelyekkel párhuzamos egyenesek nem érintők, mert pl. az

X

-tengellyel párhuzamos

y = c

egyenesnek és az

x y = 0

egyenespárnak két közös pontja van: az egyik

x = 0

y = c

, a másik

x = \infty

y = 0

^{$^{*}$}A gyökök szorzata

\frac{λ α}{β} > 0

, összegük

\frac{2 λ}{β} > 0