Kezdőlap


Feladat:	867. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ambrus Á. , Asztalos E. , Baneth L. , Bihari I. , Bónitz M. , Buresch R. , Csanádi Gy. , Csikós Nagy B. , Czégé I. , Deutsch E. , Döme J. , Döring A. , Emődi M. , Fejér J. , Fischmann Éva , Geba I. , Gribács L. , Gyarmati B. , Hajdu Ágota , Hegedüs T. , Hirschler Z. , Jász L. , Kálmán E. , Kaufmann I. , Kiss Tivadar , Kolma J. , Kurz F. , Kürti J. , Lakner Gy. , Lehr M. , Lukács O. , Makai E. , Manner L. , Mérei L. , Nagy E. , Ottinger Gy. , Perneczky T. , Pikler F. , Pintér Gy. , Róth Sz. , Scheffer K. , Sohr Anna , Stekler E. , Szabó I. , Széll G. , Verebély L. , Vona Gy. , Wagner W. , Weiszfeld E.
Füzet:	1933/február, 166. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Párhuzamos szelők tételének megfordítása, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1932/december: 867. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. a) Ha $α = 90^{\circ}$ , akkor a háromszög átfogója $a$ és a körülírt kör sugara $R = \frac{a}{2}$ ; tehát így, ha $a + R = l$ , akkor

\begin{matrix} a + \frac{a}{2} = l és a = \frac{2 l}{3} . \end{matrix}

α < 90^{\circ}

esetében az

A B C ▵

köré írt kör

O

középpontja a háromszögön belül esik és

B O C ∢ = 2 α

. Hosszabbítsuk meg

B C

-t a

C D = C O

hosszúsággal, tehát

B D = B C + C D = a + R = l

a megadott hosszúság. Ebben az esetben

\begin{matrix} O B D ∢ \equiv O B C ∢ = 90^{\circ} - α és O B D ∢ \equiv O D C ∢ = 45^{\circ} - \frac{α}{2} . \end{matrix}

c) Ha

α > 90^{\circ}

, akkor

O

a háromszögön kívül esik; ugyanígy eljárva, mint előbb

B O C ∢ = 360^{\circ} - 2 α

és

\begin{matrix} O B D ∢ = α - 90^{\circ}, O D B ∢ = \frac{α}{2} - 45^{\circ} . \end{matrix}

A b) és c) esetekben megszerkeszthetjük a

B D O ▵

-et, mert adva van egy oldala.

B D = l

és a rajta fekvő két szög.

B

a keresett háromszög első csúcsa. Az

O B

-vel

O

körül rajzolt kör a

B D

-t még a

C

pontban metszi; ez lesz a háromszög második csúcsa. Az

O

pontból a

B D

-re állított merőleges a kört az

A

pontban, a keresett háromszög harmadik csúcsában metszi a b) esetben

A

és

O

B D

egyenes ugyanazon oldalán feküsznek, a c) esetben

B D

elválasztja egymástól az

A

és

O

pontokat.

Kiss Tivadar (Szent Benedekrendi g. VII. o. Esztergom.)

II. Megoldás. Mindazon egyenlőszárú háromszögek, melyekben az alappal szemben fekvő szög egyenlő, hasonlók. Szerkesszünk tehát valamely egyenlőszárú háromszöget, mely az alappal szemben fekvő szög

α

; legyen ennek alapja

a'

, a köréje írt kör sugara

R'

. Ekkor

\begin{matrix} a : R = a' : R' . \end{matrix}

Eszerint a megadott

a + R

távolságot

a : R'

arányban kell két részre osztanunk; ezáltal megkapjuk a keresett háromszög

a

alapját és így a háromszög megszerkeszthető.

Fischmann Éva (izr. leánygimn. VI. o. Bp.)