Feladat: 812. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Alpár L. ,  Bihari I. ,  Blazsek I. ,  Csikós Nagy B. ,  Deutsch E. ,  Döring A. ,  Egyed L. ,  Emődi M. ,  Geba I. ,  Gerber Zsuzsa ,  Giesser György ,  Gyarmati B. ,  Kalán J. ,  Kálmán E. ,  Kepes J. ,  Manner L. ,  Mérei L. ,  Papp L. ,  Pulay M. ,  Réffy K. ,  Singer G. ,  Singer I. ,  Skurek Z. ,  Stekler E. ,  Szabó István ,  Tarnóczy T. ,  Tóth L. 
Füzet: 1932/október, 38 - 39. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szélsőérték differenciálszámítással, Trapézok, Érintőnégyszögek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1932/május: 812. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Az O középpontú, r sugarú kör köré írt ABCD trapéz területét tekintsük az AB=2x ill. BE=x függvényének. Ha a BC oldal a kört F pontban érinti, BF=BE és CF=CG.

 
 

A BOC az O-nál derékszögű (mert OC és OB a GOF és FOE mellékszögeket felezik) és OFBC; ezért
BF¯CF¯=OF¯2vagyisxCF=r2,
tehát CF=r2x. Így a trapéz területe
y=AB+CD2EG=(x+r2x)2r
és
y'=dydx=(1-r2x2)2r.
x értéke változik 0-tól +-ig. A differenciálhányados x=r-nél eltűnik, ill. ha x<r, akkor y'<0, ha x>r, akkor y'>0; tehát x=r helyen az y függvénynek minimuma van. Ha x változik 0 és r között, y csökken +-től a minimumig; ha x változik r-től +-ig, y növekedik a minimumtól +-ig.
Ha x=r, a trapéz négyzetté válik és ymin=4r2.
 

Giesser György (Klauzál Gábor rg. VII. o. Szeged)
 

II. Megoldás. A trapéz területe
t=AB+CD2EF=KL2r.

A trapéz középvonala, KL, a kör középpontján megy keresztül és KL2r. Eszerint a trapéz területe
t4r2,
tehát legkisebb akkor, amidőn KL=2r és tmin=4r2.
 

Szabó István (Br. Eötvös József r. VII. o. Bp. VI.)