Kezdőlap


Feladat:	801. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alpár L. , Baneth L. , Bignio Hédy , Blazsek I. , Bordás S. , Csikós Nagy B. , Emődi M. , Farkas E. , Finkelstein L. , Geba I. , Gerber Zsuzsa , Ghyczy Zsuzsanna , Giesser Gy. , Gyarmati B. , Kálmán E. , Kepes J. , Kürti J. , Manner L. , Mérei L. , Réffy K. , Repper J. , Stolcz T. , Szabó I. , Tanczik Klára , Tarnóczy Támás , Tóth L. , Vig I. , Waisbecker Jolán , Weiszfeld E.
Füzet:	1932/szeptember, 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Tengely körüli forgatás, Határozott integrál, Egyenesek egyenlete, Parabola egyenlete, Alakzatok mértéke, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1932/április: 801. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elsősorban meg kell határoznunk a parabola és az egyenes közös pontjait, tehát azon $(x, y)$ értékpárokat, melyek az

\begin{matrix} y^{2} & = 4 x, & (1) \\ y & = \frac{2}{3} x & (2) \end{matrix}

egyenletrendszert kielégítik. (2) szerint

y

értékét (1)-be helyettesítjük, miáltal a

\begin{matrix} \frac{4}{9} x^{2} = 4 x, ill. x^{2} - 9 x = 0 \end{matrix}

(3)

egyenlethez jutunk, melynek gyökei:

x_{1} = 0

x_{2} = 9

. Tehát

y_{1} = 0

y_{2} = 6

. A parabola és az egyenes közös pontjai eszerint:

(0,0)

és

(9,6)

.
A parabolaszelet területe:

\begin{matrix} t = \int_{0}^{9} \sqrt[]{4 x} d x - \int_{0}^{9} \frac{2}{3} x d x = 2 {[\frac{2}{3} \sqrt[]{x^{3}}]}_{0}^{9} - {[\frac{x^{2}}{3}]}_{0}^{9} = \frac{4}{3} \sqrt[]{9^{3}} - \frac{81}{3} = 36 - 27 \\ t = 9 területegység. \end{matrix}

A parabolaszelet forgásából származó test köbtartalma:

\begin{matrix} V = \int_{0}^{9} {(\sqrt[]{4 x})}^{2} π d x - \int_{0}^{9} {(\frac{2}{3} x)}^{2} π d x = π \int_{0}^{9} 4 x d x - π \int_{0}^{9} \frac{4 x^{2}}{9} d x = \\ = π {[2 x^{2}]}_{0}^{9} - π {[\frac{4 x^{3}}{27}]}_{0}^{9} = 161 π - 108 π = 54 π . \\ V = 54 π térfogategység. \end{matrix}

Tarnóczy Tamás (Mátyás Király rg. VII. o. Bp. II.)