Kezdőlap


Feladat:	798. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Alpár L. , Bordás S. , Csikós Nagy B. , Emődi M. , Farkas Ervin , Geisser Gy. , Kürti J. , Singer I. , Tóth L. , Weiszfeld Endre
Füzet:	1932/szeptember, 12 - 13. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	L'Hospital szabály, Függvény határértéke, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1932/április: 798. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Ha $x = 1$ , az adott tört helyettesítési értéke $\frac{0}{0}$ , határozatlan; tehát csak határértékről lehet szó, amely a L'H $\hat{o}$ pital-féle szabály szerint megegyezik $\frac{A' (x)}{B' (x)}$ értékével, ahol $A (x)$ a számlálót, $B (x)$ a nevezőt jelenti.
Már most

\begin{matrix} A' (x) = \frac{1}{2 \sqrt[]{2 - \sqrt[]{4 - 3 x}}} \cdot \frac{- 3}{2 \sqrt[]{4 - 3 x}} = - \frac{3}{4}, ha x = 1. \\ B' (x) = \frac{1}{2 \sqrt[]{2 - \sqrt[]{\frac{1}{3 - 2 x}}}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt[]{\frac{1}{3 - 2 x}}} \cdot \frac{2}{{(3 - 2 x)}^{2}} = \frac{1}{2}, ha x = 1. \end{matrix}

A keresett határérték tehát

- \frac{3}{4} : \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

Farkas Ervin (Kölcsey Ferenc rg. VI. o. Bp. VI.)

II. Megoldás. Az adott törtet, melynek jele legyen

f (x)

, a köv. módon alakítjuk át:

\begin{matrix} f (x) = \frac{1 - \sqrt[]{2 - \sqrt[]{4 - 3 x}}}{1 - \sqrt[]{2 - \sqrt[]{\frac{1}{3 - 2 x}}}} \frac{1 + \sqrt[]{2 - \sqrt[]{4 - 3 x}}}{1 + \sqrt[]{2 - \sqrt[]{\frac{1}{3 - 2 x}}}} \cdot \frac{1 + \sqrt[]{4 - 3 x}}{1 + \sqrt[]{\frac{1}{3 - 2 x}}} \cdot g (x), \end{matrix}

ahol

g (x)

a jobb oldalon álló második és harmadik tényező reciproc értékének szorzatát jelenti.

g (1) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2} = 1

. A jobboldalon álló első három tényező szorzását elvégezve:

\begin{matrix} f (x) = \frac{3 (1 - x) (3 - 2 x)}{2 x - 2} g (x) = - \frac{3}{2} (3 - 2 x) g (x), \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} f (1) = - \frac{3}{2} g (1) = - \frac{3}{2} . \end{matrix}

Weiszfeld Endre (Kemény Zsigmond r. VI. o. Bp.)