Kezdőlap


Feladat:	796. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Alpár L. , Deutsch E. , Emődi M. , Jónás J. , Pintér Gy. , Róth Gy. (V.o.) , Scholcz G. , v. Bánföldy A. , Weiszfeld Endre
Füzet:	1932/május, 276. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Szögfelező egyenes, Térgeometria alapjai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1932/március: 796. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a $B A C ∢ = α$ vetülete valamely síkon $B A' C ∢ = α'$ és az $e$ vetülete $e'$ . Minthogy $e$ felezi az $α$ szöget úgy, hogy $B C$ -t a $D$ pontban metszi:

\begin{matrix} B D : C D = B A : C A . \end{matrix}

(1)

e'

felezné az

α'

szöget, akkor lenne:

\begin{matrix} B D : C D = B A' : C A', \end{matrix}

(2)

tehát (1)-ből és (2)-ből:

\begin{matrix} B A : C A = B A' : C A' . \end{matrix}

(3)

Ez annyit jelent, hogy mivel még

A A' C ∢ = A A' B ∢ = 90^{\circ}

és

A A'

közös oldala a két háromszögnek,

A A' B ▵ ≅ A A' C ▵

; ebből pedig az következik, hogy

A B = A C

és

A' B = A' C

, azaz az

A B C

és

A' B C

háromszögek egyenlőszárúak, továbbá

A D ⊥ B C

és

A' D ⊥ B C

tehát

e

és

e'

A B C

síknak a vetületi síkhoz való hajlásszögét határozzák meg. Általában azonban nem áll, hogy az

e

és

e'

egyenesek szöge (tehát az

e

-nek az

A' B C

síkhoz való hajlásszöge) egyszersmind a két sík hajlásszöge.
Ha azonban

e

és

e'

A B C

és

A' B C

síkok hajlásszögét határozzák meg, akkor, ha

e

felezi a

B A C ∢

-et,

e'

is felezi az

B A' C ∢

-et.

Weiszfeld Endre (Kemény Zsigmond r. VI. o. Bp. VI.)

Jegyzet. Ha az

e

egyenes felezi az

α

szöget,

e'

akkor és csak akkor felezi az

α'

-t, ha az

e

és

e'

egyenesek síkja merőleges az

α

és

α'

síkjának metszővonalára.