Kezdőlap


Feladat:	783. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Alpár L. , Gajzágó E. , Weiszfeld Endre
Füzet:	1932/április, 231 - 232. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani helyek, Térgeometria alapjai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1932/február: 783. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $O$ a $G$ középpontja és $M N$ a $G$ gömb egy olyan húrja, amely $P$ -ből derékszög alatt látszik.

Q

M N

felezőpontja, akkor, mivel

M P N ▵

P

-nél derékszögű,

\begin{matrix} P Q = Q M = Q N . \end{matrix}

Q O

egyenes merőleges az

M N

-re; ha tehát

R

G

sugara,

\begin{matrix} {\bar{O Q}}^{2} + {\bar{Q M}}^{2} = {\bar{O M}}^{2} = R^{2}, \end{matrix}

és mivel

P Q = Q M

\begin{matrix} {\bar{O Q}}^{2} + {\bar{P Q}}^{2} = R^{2} . \end{matrix}

E szerint a

Q

pont azon tulajdonsággal bír, hogy két szilárd ponttól (

O

és

P

) való távolságainak négyzetösszege állandó (

R^{2}

); az ilyen pontok mértani helye a térben egy

Γ

gömb, melynek középpontja az

O P

távolság felezőpontja

ω

. Ezen gömb sugara,

ω Q

kielégíti az

\begin{matrix} {\bar{O Q}}^{2} + {\bar{P Q}}^{2} = 2 {\bar{ω Q}}^{2} + 2 {\bar{O ω}}^{2} = R^{2} \end{matrix}

egyenletet, azaz:

\begin{matrix} {\bar{ω Q}}^{2} = \frac{R^{2} - 2 {\bar{O ω}}^{2}}{2} = \frac{2 R^{2} - 4 {\bar{O ω}}^{2}}{2} = \frac{2 R^{2} - {\bar{O P}}^{2}}{4} . \end{matrix}

Ha a

Γ

gömb metszi a

G

gömböt, akkor a

Γ

gömbnek a

G

gömbön belül fekvő része lesz a

Q

pont mértani helye. Ez csak akkor létezik, ha

O P \leq R \sqrt[]{2}

Weiszfeld Endre (Kemény Zsigmond r. VI. o. Bp. VI.)

Jegyzet. Az

O P = R \sqrt[]{2}

határesetben a

Γ

gömb sugara zérus, az

ω

pontba zsugorodik össze, melynek távolsága

O

-tól

\frac{O P}{2}

. Minden húrt, melyet ezen pont felez, a

P

pontból derékszög alatt lehet látni; ezen húrok az

ω

pontban

O P

-re merőlegesek.