Kezdőlap


Feladat:	768. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alpár L. , Blazsek I. , Busztin Anna , Csernussi E. , Egyed L. , Emődi M. , Farkas V. , Gajzágó E. , Gerber Zsuzsa , Gyarmati B. , Hegedüs T. , Kepes J. , Megyery E. , Mérei L. , Mitnyán László , Réffy K. , Stolcz T. , Székely I.
Füzet:	1932/március, 195. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Trigonometria, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1932/január: 768. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ .

\begin{matrix} sin (α + φ) = sin α cos φ + cos α sin φ^{1} = \\ = \frac{2 t}{b c} \cdot \frac{λ}{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} \cdot 2 λ t = \\ = \frac{2 λ t}{b c} (\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2} + \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2}) = 2 λ t (\frac{b^{2} + c^{2}}{b c}), \end{matrix}

ahol

t

a háromszög területe és

λ = \frac{1}{\sqrt[]{a^{2} b^{2} + b^{2} a^{2} + c^{2} a^{2}}}

.
Hasonlóan

\begin{matrix} sin (β + φ) = 2 λ t (\frac{c^{2} + a^{2}}{c a}) és sin (γ + φ) = 2 λ t (\frac{a^{2} + b^{2}}{a b}) . \end{matrix}

2^{\circ}

\begin{matrix} \frac{sin (α + φ)}{sin α} = \frac{2 λ t (b^{2} + c^{2})}{b c sin α} = λ (b^{2} + c^{2}); \\ \frac{sin (β + φ)}{sin β} + λ (c^{2} + a^{2}) és \frac{sin (α + φ)}{sin γ} = λ (a^{2} + b^{2}) . \end{matrix}

Ezek szerint

\begin{matrix} \frac{sin (α + φ)}{sin α} + \frac{sin (β + φ)}{sin β} + \frac{sin (γ + φ)}{sin γ} = 2 λ (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 4 cos φ^{1} . \end{matrix}

Mitnyán László (Kemény Zsigmond r., VIII. o. Bp. VI.)

¹L. a 744. feladatban (5. sz. 133. o.)

sin φ

és

cos φ

értékét.