Kezdőlap


Feladat:	764. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aigner S. , Alpár L. , Blazsek I. , Bordás S. , Buszti Anna , Csernussi E. , Ehrenfeld Gy. , Eisner F. , Emődi M. , Farkas V. , Fröhlich K. , Gajzágó E. , Gál I. , Geba I. , Gerber Zsuzsa , Giesser Gy. , Gyarmati B. , Holczmann V. , Hümpfner Olga , Kaiser F. , Kálmán E. , Kerékgyártó J. , Kuncz A. , Megyery E. , Mitnyán L. , Pintér Gy. , Prém L. , Pulay M. , Réffy K. , Róna I. , Singer G. , Singer I. , Sohr Anna , Stekler E. , Székely I. , Vezér Gy. , Vozáry P. , Weiszfeld E. , Ökrös J.
Füzet:	1932/március, 191. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	A komplex szám algebrai alakja, Komplex számok tulajdonságai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1932/január: 764. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Meg kell oldanunk az $x, y$ valós számokra nézve

\begin{matrix} {(x + y i)}^{2} = x^{2} - y^{2} + 2 x y i = 4 a b + 2 (a^{2} - b^{2}) i \end{matrix}

egyenletet. Ez csak úgy állhat meg, ha

\begin{matrix} x^{2} - y^{2} = 4 a b & (1) \\ és x y = a^{2} - b^{2} . & (2) \\ (1)-ből: {(x^{2} - y^{2})}^{2} = 16 a^{2} b^{2} \\ (2)-ből: 4 x^{2} y^{2} = 4 {(a^{2} - b^{2})}^{2} . \end{matrix}

Összeadással:

\begin{matrix} {(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = 16 a^{2} b^{2} + 4 {(a^{2} - b^{2})}^{2}, vagyis {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 4 {(a^{2} + b^{2})}^{2} . \end{matrix}

x, y

valós számok, tehát

x^{2} + y^{2}

pozitív; ezért

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 2 (a^{2} + b^{2}) . \end{matrix}

(3)

(1)-ből és (3)-ból:

2 x^{2} = 2 (a^{2} + b^{2} + 2 a b)

és

x = \pm (a + b)

2 y^{2} = 2 (a^{2} + b^{2} - 2 a b)

és

x = \pm (a - b)

.

A (2)-ből látható, hogy ha

x = a + b

, akkor

y = a - b

és

x = - (a + b)

mellett

y = - (a - b)

.
Ezek szerint:

\begin{matrix} x + y i = \pm [(a + b) + (a - b) i] \end{matrix}

Gerber Zsuzsa (Mária Terézia leányl. VIII. o. Bp.)