Kezdőlap


Feladat:	762. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Alpár L. , Blazsek I. , Busztin Anna , Ehrenfeld Gy. , Emődi M. , Geba I. , Gyarmati B. , Hegedüs T. , Singer I. , Weiszfeld E.
Füzet:	1932/március, 189 - 190. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Sorozat határértéke, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1932/január: 762. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy $A_{0} A'_{0} A_{1} ▵ \sim A_{2} A_{2}' A_{1} ▵$ ,

\begin{matrix} A_{0} A_{1} : A'_{0} A_{0} = A_{1} A_{2} : A_{2}' A_{2} vagyis (a_{1} - a_{0}) : \sqrt[]{R^{2} - a_{0}^{2}} = (a_{2} - a_{1}) : \sqrt[]{R^{2} - a_{2}^{2}} . \end{matrix}

(1)

Négyzetre emeléssel:

\begin{matrix} {(a_{1} - a_{0})}^{2} (R^{2} - a_{2}^{2}) = {(a_{2} - a_{1})}^{2} (R^{2} - a_{0}^{2}) . \end{matrix}

(2)

A (2) egyenletet nyilván kielégíti

a_{2} = a_{0}

; de ez nem elégíti ki az eredeti (1) egyenletet. A (2) egyenletben kijelölt műveleteket végrehajtva és rendezve az

\begin{matrix} (R^{2} + a_{1}^{2} - 2 a_{0} a_{1}) a_{2}^{2} - 2 a_{1} (R^{2} - a_{0}^{2}) a_{2} + a_{0} (2 a_{1} R^{2} - a_{0} a_{1}^{2} - R^{2} a_{0}) = 0 \end{matrix}

(3)

egyenletet nyerjük. Ezen egyenlet gyökeinek szorzata

\begin{matrix} \frac{a_{0} (2 a_{1} R^{2} - a_{0} a_{1}^{2} - R^{2} a_{0})}{R^{2} + a_{1}^{2} - 2 a_{0} a_{1}} . \end{matrix}

Minthogy az egyenlet egyik gyöke

a_{0}

, de ez nem felel meg, a másik gyöke, amely megfelel:

\begin{matrix} a_{2} = \frac{2 a_{1} R^{2} - a_{0} a_{1}^{2} - R^{2} a_{0}}{R^{2} + a_{1}^{2} - 2 a_{0} a_{1}} = \frac{R^{2} (a_{1} - a_{0}) + a_{1} (R^{2} - a_{0} a_{1})}{a_{1} (a_{1} - a_{0}) + R^{2} + a_{0} a_{1}} . \end{matrix}

Ha már most:

\frac{a_{1} - a_{0}}{R^{2} - a_{0} a_{1}} = K, akkor a_{2} = \frac{K R^{2} + a_{1}}{K a_{1} + 1}

és innen

\begin{matrix} \frac{a_{2} - a_{1}}{R^{2} - a_{2} a_{1}} = K . \end{matrix}

2^{\circ}

. Az

a_{3}

kiszámítása, az

A_{2} A'_{3} A_{3}

és

A_{1} A''_{1} A_{2}

háromszögek hasonlóságából eredő

\begin{matrix} (a_{2} - a_{1}) : \sqrt[]{R^{2} - a_{1}^{2}} = (a_{3} - a_{2}) : \sqrt[]{R^{2} - a_{3}^{2}} \end{matrix}

egyenletből éppúgy történik, mint

a_{2}

-é a (3)-ból, tehát

\begin{matrix} a_{3} = \frac{R^{2} (a_{2} - a_{1}) + a_{2} (R^{2} - a_{1} a_{2})}{a_{2} (a_{2} - a_{1}) + R^{2} - a_{1} a_{2}} = \frac{K R^{2} + a_{2}}{K a_{2} + 1} \end{matrix}

és innen

\begin{matrix} \frac{a_{3} - a_{2}}{R^{2} - a_{3} a_{2}} = K . \end{matrix}

A számítás menetéből máris látható, hogy

\begin{matrix} \frac{a_{n} - a_{n - 1}}{R^{2} - a_{n} a_{n - 1}} = \frac{a_{n - 1} - a_{n - 2}}{R^{2} - a_{n - 2} a_{n - 1}} = \dots = \frac{a_{1} - a_{0}}{R^{2} - a_{1} a_{0}} = K . \end{matrix}

és

\begin{matrix} \frac{1 - K R^{1}}{1 + K R} = \frac{(R - a_{1}) (R + a_{0})}{(R + a_{1}) (R - a_{0})} = \frac{(R - a_{2}) (R + a_{1})}{(R + a_{2}) (R - a_{1})} = \dots = \frac{(R - a_{n}) (R + a_{n - 1})}{(R + a_{n}) (R - a_{n - 1})}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \frac{R - a_{n}^{2}}{R + a_{n}} = \frac{1 - K R}{1 + K R} \cdot \frac{R - a_{n - 1}}{R + a_{n - 1}} = {(\frac{1 - K R}{1 + K R})}^{n} \frac{R - a_{0}}{R + a_{0}} \end{matrix}

¹ ²
Ha

a_{1} > a_{0}

, akkor

K > 0

és

| \frac{1 - K R}{1 + K R} | < 1

, tehát

\begin{matrix} {lim}_{n - \infty}^{} \frac{R - a_{n}}{R + a_{n}} = 0 és {lim}_{n - \infty}^{} a_{n} = R . \end{matrix}

a_{1} < a_{0}

, akkor

K < 0

és

| \frac{1 - K R}{1 + K R} | > 1

, tehát

\begin{matrix} {lim}_{n - \infty}^{} \frac{R - a_{n}}{R + a_{n}} = \infty azaz {lim}_{n - \infty}^{} a_{n} = - R . \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{1 - \frac{a_{1} - a_{0}}{R^{2} - a_{0} a_{1}} R}{1 + \frac{a_{1} - a_{0}}{R^{2} - a_{0} a_{1}} R} = \frac{R^{2} - a_{0} a_{1} - a_{1} R + a_{0} R}{R^{2} - a_{0} a_{1} + a_{1} R - a_{0} R} = \frac{R (R - a_{1}) + a_{0} (R - a_{1})}{R (R + a_{1}) - a_{0} (R + a_{1})} = \frac{(R - a_{1}) (R + a_{0})}{(R + a_{1}) (R - a_{0})} \end{matrix}

² Az $\frac{R - a_{i}}{R + a_{i}}$ törtek mértani haladványt alkotnak, melyek hányadosa $\frac{1 - K R}{1 + K R}$ .