Kezdőlap


Feladat:	752. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alpár L. , Bánföldy A. , Bihari I. , Blazsek I. , Bordás S. , Busztin A. , Eisner F. , Emődi M. , Fröhlich K. , Gajzágó E. , Gál I. , Geba I. , Gerber Zs. , Giesser Gy. , Gyarmati B. , Holczmann V. , Jónás J. , Kálmán Gy. , Kepes J. , Kerékgyártó J. , Kuncz A. , Lehel P. , Máté Pál , Megyery E. , Nánási Gy. , Papp L. , Parti I. , Pásztor I. , Prém L. , Réffy K. , Rimóczi G. , Ritter G. , Róna I. , Scholcz G. , Singer I. , Stekler E. , Szabó I. , Székely I. , Török T. , Varga Á. , Vezér Gy. , Weiszfeld E.
Füzet:	1932/február, 158 - 159. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Differenciálszámítás, Egyenesek egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1931/december: 752. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $(α, β)$ pontban húzott tetszőleges egyenes egyenlete:

\begin{matrix} y - β = m (x - α), \end{matrix}

ahol

m

az egyenes irányhatározója. Ha az

(α, β)

pont az

y = x^{3}

görbén fekszik, akkor

β = α^{3}

és ha az egyenes a görbe érintője, akkor

m

értékét megadja az

y

differenciálhányadosa az

x = α

helyen, tehát

\begin{matrix} m = \frac{d y}{d x} = {[3 x^{2}]}_{x \neq α} = 3 a^{2} . \end{matrix}

A szóban forgó érintő egyenlete:

y - α^{3} = 3 α^{2} (x - α)

.
Ha már most ezen egyenesnek és az

y = x^{3}

görbének közös pontjait keressük, akkor keresnünk kell azon

(x, y)

értékpárokat amelyek kielégítik az

\begin{matrix} y = x^{3} \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} y - α^{3} = 3 α^{3} (x - α) \end{matrix}

(2)

egyenletrendszert, ill.

y

kiküszöbölésével azon

x

értéket, amely az

\begin{matrix} x^{3} - α^{3} = 3 α^{2} (x - α) vagy x^{3} - 3 α^{2} x + 2 α^{3} = 0. \end{matrix}

(3)

egyenletet elégíti ki. Minthogy (2) az (1) görbe érintője az

x = α

pontban, kell, hogy

α

a (3) egyenlet kétszeres gyöke legyen, Valóban

\begin{matrix} x^{3} - 3 α^{2} x + 2 α^{3} = {(x - α)}^{2} (x + 2 α) = 0, \end{matrix}

x_{1} = α

x_{2} = α

és

x_{3} = - 2 α

.
A (2) érintő eszerint a görbét még egy pontban metszi, melynek koordinátái:

(- 2 α, - 8 α^{3})

Máté Pál (Koháry István rg. VIII. o. Gyöngyös.)